最後更新：2026-07-01

指數分布

指數分布是一種連續機率分布，用來建模以固定平均速率發生的獨立事件之間的等待時間。它是卜瓦松分布的連續版本：卜瓦松計算固定區間內發生多少事件，指數分布則描述事件之間要等多久。它廣泛出現在可靠度工程、排隊理論與存活分析中。

公式

給定速率參數 λ > 0 與數值 x ≥ 0，機率密度函數（PDF）為：

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$

累積分布函數（CDF）給出等待時間至多為 x 的機率：

$$P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}$$

存活函數（尾端機率）是其補數——在 x 之後仍在等待的機率：

$$P(X > x) = e^{-\lambda x}$$

等待時間落在區間 [a, b] 的機率是兩端存活函數之差：

$$P(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$$

平均數、變異數與中位數都是速率的簡潔函數：

$$\mu = \frac{1}{\lambda}, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \text{中位數} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

計算範例

某客服專線的來電平均速率為 λ = 0.5 通/分鐘，因此來電的平均間隔為 1/0.5 = 2 分鐘。下一通電話在 3 分鐘內打進來的機率是多少？

使用 x = 3 的 CDF：

$$P(X \leq 3) = 1 - e^{-0.5 \times 3} = 1 - e^{-1.5} \approx 0.7769$$

下一通電話在 3 分鐘內打進來的機率為 77.7 %。等待超過 3 分鐘的機率是其補數：

$$P(X > 3) = e^{-1.5} \approx 0.2231$$

等待時間落在 1 到 4 分鐘之間的機率為：

$$P(1 \leq X \leq 4) = e^{-0.5} - e^{-2} \approx 0.6065 - 0.1353 = 0.4712$$

x = 3 處的密度為：

$$f(3) = 0.5 \, e^{-1.5} \approx 0.1116$$

公式推導

CDF 可直接由密度從 0 到 x 積分得到：

$$P(X \leq x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$$

平均數由 x 對密度積分求得：

$$\mu = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\, dx = \frac{1}{\lambda}$$

中位數藉由求解 P(X ≤ m) = 0.5 得到：

$$1 - e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; m = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

由於 ln 2 ≈ 0.693 < 1，中位數永遠小於平均數 1/λ，反映了分布的右偏特性。

無記憶性

指數分布是唯一具無記憶性的連續分布：

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

已經等待 s 單位時間，對於還需再等多久毫無資訊——剩餘等待時間與重新開始的分布完全相同。因此此模型適用於故障率固定的元件——在統計意義上不會「老化」的零件——並構成連續時間過程馬可夫性質的基礎。

與其他分布的關係

• 卜瓦松：若事件依速率 λ 的卜瓦松過程發生，固定區間內的計數為 Poisson(λ)，相鄰事件之間的時間為 Exponential(λ)。計數用卜瓦松；量測間隔用指數分布。
• 幾何：幾何分布建模到第一次成功為止的離散試驗次數。指數分布是其連續時間對應。
• 伽瑪：k 個獨立 Exponential(λ) 等待時間之和服從 Gamma(k, λ)——即卜瓦松過程中到第 k 個事件為止的時間。
• 韋伯：指數分布是形狀參數為 1 的韋伯分布特例，對應於危險率固定的情形。

實務應用

• 可靠度工程：建模危險率固定之元件的失效時間，是浴缸曲線「有效壽命」階段的基礎。
• 排隊理論：在 M/M/1 及相關模型中表示到達間隔與服務時間。
• 存活分析：醫學與精算中事件時間資料的基準危險模型。
• 物理學：描述放射性衰變之間的時間，其中每個原子核以固定速率獨立衰變。
• 電信：在網路流量分析中建模封包到達之間的閒置時間。

常見問題（FAQ）

什麼時候適合使用指數分布？

當要建模以固定平均速率獨立發生的事件之間的等待時間時，就使用指數分布。典型例子包括下一位顧客到達前的時間、故障率固定的零件壽命，以及放射性衰變之間的間隔。它是幾何分布的連續版本，也是卜瓦松分布在等待時間上的對應。

什麼是無記憶性？

指數分布是唯一具無記憶性的連續分布：P(X > s + t | X > s) = P(X > t)。已經等待 s 單位時間，對於還需再等多久毫無資訊——剩餘等待時間與重新開始的分布相同。因此它適合建模不會磨損的系統，例如故障率不隨使用年限上升的零件。

速率 λ 與平均數有何不同？

速率 λ 計算每單位時間發生多少事件，平均數 1/λ 則衡量事件之間的平均時間。兩者互為倒數：若事件以 λ = 2 次/小時到達，平均間隔為 1/2 = 0.5 小時。部分資料以平均數（常稱為尺度）而非速率來參數化指數分布；本計算器採用速率 λ。

指數分布與卜瓦松分布有何關聯？

兩者從兩個角度描述同一過程。若事件依速率 λ 的卜瓦松過程發生，則固定區間內的事件數服從卜瓦松分布，而相鄰事件之間的時間服從相同速率 λ 的指數分布。計算事件數用卜瓦松；衡量間隔用指數分布。