最後更新：2026-07-01

這個計算器的功能

這個計算器以摘要統計量進行單樣本 t 檢定。給定樣本平均數、標準差與樣本數，它會將樣本與假設的母體平均數 $\mu_0$ 比較，並針對你所選的雙尾或單尾對立假設，輸出 t 統計量、自由度與 p 值。

單樣本 t 檢定回答什麼

假設某個製程應當產生某個平均值——目標充填重量 50 公克、基準測驗分數、規定的反應時間。你蒐集一份樣本，其平均數與該目標略有偏差。單憑隨機變異就會產生一定程度的偏差。單樣本 t 檢定提出一個明確的問題：若真實母體平均數確實是 $\mu_0$，出現與其相差如此之遠的樣本平均數有多罕見? 答案就是 p 值。

t 公式

t 統計量以標準誤為單位，衡量樣本平均數 $\bar{x}$ 與假設平均數 $\mu_0$ 之間的距離:

其中 $s$ 為樣本標準差，$n$ 為樣本數。分母 $s/\sqrt{n}$ 是平均數的標準誤——樣本越大它越小,因此在資料越多時,$\bar{x}$ 與 $\mu_0$ 之間相同的差距就越具說服力。

自由度

參考分布為自由度

的 Student t 分布。由資料本身估計標準差會耗去一個自由度。自由度越少,t 分布的尾端越厚,使檢定在小樣本時適度地更為謹慎。隨著 $n$ 增大,t 分布趨近標準常態分布。

p 值及其解讀

一旦 $t$ 與 $df$ 已知,p 值取決於對立假設。以 $F_t$ 表示 t 分布的累積分布函數:

• 雙尾($\mu \ne \mu_0$): $\;p = 2\left[1 - F_t(|t|,\, df)\right]$
• 右尾($\mu > \mu_0$): $\;p = 1 - F_t(t,\, df)$
• 左尾($\mu < \mu_0$): $\;p = F_t(t,\, df)$

將 p 值與在查看資料之前選定的顯著水準 $\alpha$（慣例為 0.05）比較:

• p < α — 結果統計上顯著;資料提供了反對 $\mu = \mu_0$ 的證據。
• p ≥ α — 資料未提供足夠證據以拒絕 μ₀（這並不等於證明平均數等於 μ₀）。

p 值並非虛無假設為真的機率,不顯著的結果也不是「無差異」的證明。它只衡量資料與假設平均數的相符程度。

範例演算

一份 $n = 30$ 的樣本,平均數 $\bar{x} = 52$,標準差 $s = 5$。我們以雙尾對立假設,對假設平均數 $\mu_0 = 50$ 進行檢定。

由於 $p \approx 0.037$,低於 0.05,樣本平均數在 5% 水準下與 50 有顯著差異。若事先指定右尾對立假設,p 值會減半,約為 $\approx 0.0183$。

顯著的 p 值說明差異可被偵測,但不說明相對於資料離散程度該差異有多大。若想為真實平均數給出一段合理值的範圍,而非是非判定,請搭配 信賴區間計算機 使用。

假設條件

單樣本 t 檢定建立在若干條件之上:

• 獨立性 — 觀測值自母體獨立抽取。
• 近似常態 — 底層母體大致為常態,或樣本夠大,使中央極限定理讓平均數的抽樣分布近似常態。在樣本數中等且無極端偏態時,檢定相當穩健。
• 由樣本估計的標準差 — 這正是採用 t 分布而非常態分布作為正確參考的原因。

當你比較的是兩個獨立群組,而非以單一樣本對照固定值時,請改用 雙樣本 t 檢定計算機（Welch）。若你的檢定統計量已是標準化的 z,則 Z 分數轉 P 值計算機 會以常態分布將其轉換為 p 值。