最後更新：2026-06-04

幾何分配是一種離散機率分配，描述在一系列獨立且成功機率固定的伯努利試驗中，首次出現成功所需的試驗次數。品質管制的抽樣檢驗、網路封包重傳的次數分析、以及流行病學中等待第一個陽性病例的建模，都可以用幾何分配來描述。

公式

本計算機採用「首次成功試驗次數」慣例：X 為首次成功發生的試驗編號，故 X ≥ 1。設每次試驗的成功機率為 $p$，機率質量函數（PMF）與累積分配函數（CDF）分別為：

期望值與變異數為：

另一種常見慣例將 X 定義為首次成功前的失敗次數（X ≥ 0），機率質量函數為 P(X = k) = (1−p)^k · p，期望值為 (1−p)/p，變異數相同。使用教科書或統計軟體時，須先確認採用的是哪一種定義。

公式的推導邏輯

要使第一次成功恰好發生在第 k 次試驗，需滿足兩個條件：

①前 k−1 次試驗全部失敗。由於各次試驗相互獨立，且每次失敗機率為 1−p，連續 k−1 次失敗的機率為 $(1-p)^{k-1}$。

②第 k 次試驗成功，機率為 $p$。

將兩個獨立事件的機率相乘，得到 $(1-p)^{k-1} \cdot p$。

累積機率的推導採用互補原則：在 k 次試驗中首次成功「未能」出現的唯一情況，是 k 次全部失敗，機率為 $(1-p)^k$，故 $P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$。

計算範例

某電子元件的測試通過率為 30%，各次試驗相互獨立（$p\!=\!0.30$）。求第一件通過測試的元件恰好是第 3 件的機率。

第一件合格品恰好是第 3 件的機率為 14.7%。在前 3 件中就出現合格品的累積機率為：

亦即有 65.7% 的機率在前 3 次試驗中取得首次成功。依期望值公式，平均需要 $\mu = 1 / 0.30 \approx 3.33$ 件才能取得第一件合格品。

無記憶性

幾何分配是唯一具有無記憶性的離散機率分配。已知前 m 次試驗均失敗，此後等待首次成功所需額外試驗次數的分配，與從頭開始時完全相同。形式上，$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$。

無記憶性在排隊理論（如顧客等待服務的時間分析）與序貫假設檢定中十分重要，能大幅簡化計算。

與其他分配的關係

幾何分配是負二項分配在所需成功次數 $r\!=\!1$ 時的特例。$r$ 個相互獨立的幾何隨機變數之和服從負二項分配，代表取得 $r$ 次成功所需的總試驗次數。

當成功機率極小而試驗次數極多時，幾何分配的形狀接近指數分配（連續版本的無記憶分配）。成功機率趨近於 1 時，分配集中於 $k\!=\!1$ 附近，右偏程度大幅降低。

實務應用

• 品質管制： 生產線上每件產品的不良率固定時，可用幾何分配估計在第幾件出現第一件不良品。
• 臨床篩檢： 在固定納入機率下，估計需篩檢多少名受試者才能招募到第一位符合條件的受試者。
• 網路傳輸： 分析封包在雜訊通道中需重傳多少次才能成功接收。
• 可靠度工程： 在有損耗的系統中，計算機台執行到首次故障所需運作週期的期望值。