最後更新：2026-05-13

畢氏定理

畢氏定理指出，在任意直角三角形中，斜邊的平方等於另外兩邊（直角邊）的平方和：

$a^2 + b^2 = c^2$

這是數學史上最古老的結果之一。約西元前 1800 年的巴比倫泥板上已記載了畢氏數組（滿足此方程式的整數組），比畢達哥拉斯（Pythagoras）本人的出生早了數百年。畢達哥拉斯及其學派的貢獻在於提出了一般性的證明：這個關係對所有直角三角形均成立，而非僅限於特定的整數例子。

如何使用本計算機

輸入直角三角形任意兩邊，計算機即可求出第三邊。三個欄位均可編輯：可固定斜邊和一條直角邊來求另一條直角邊，也可輸入兩條直角邊來求斜邊。

• 已知 a 和 b → 求 c（斜邊）： $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• 已知 b 和 c → 求 a： $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• 已知 a 和 c → 求 b： $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

支援所有長度單位，公制與英制可自由混用。

公式的原理

最直觀的證明方法是在直角三角形的三邊上各畫一個正方形。斜邊上的正方形面積恰好等於另外兩邊正方形面積之和——可以透過重新拼排各部分來覆蓋大正方形加以驗證。這種「分割證明」不需要代數，只需比較面積，因此在歷史上被不同文化獨立發現。

代數形式源自解析幾何的距離公式：將直角置於原點，兩直角邊分別沿座標軸延伸，斜邊（從 $(a, 0)$ 到 $(0, b)$ 的線段）依歐氏距離的定義，長度正好是 $\sqrt{a^2 + b^2}$。

畢氏數組

畢氏數組是 $a^2 + b^2 = c^2$ 的正整數解。以下是幾組常見的例子：

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

任意一組畢氏數組的正整數倍仍是畢氏數組。例如 (6, 8, 10)、(9, 12, 15) 和 (15, 20, 25) 都是 (3, 4, 5) 家族的衍生組。

生成所有原始（互質）畢氏數組的一般公式，需要兩個整數 $m > n > 0$：

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

取 $m = 2, n = 1$：$a = 3, b = 4, c = 5$——經典的數組由此而來。

實際應用

建築與木工。 「3-4-5 法則」是無需量角器即可確認直角的最可靠方法。沿一面牆量 3 個單位，沿相鄰牆量 4 個單位，若連線長度恰好是 5 個單位，則該角為直角。

導航。 平面地圖上兩點間的直線距離，正是以南北方向差和東西方向差為直角邊所構成的直角三角形的斜邊。GPS 接收器和地圖軟體持續進行此計算。

物理與工程。 二維向量的大小透過畢氏定理求得。水平速度 $v_x$ 和垂直速度 $v_y$ 的物體，其速率為 $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$。

電腦圖形。 像素間距離、碰撞偵測和渲染計算全都依賴此定理。三維的推廣式 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ 是其直接延伸。

僅適用於直角三角形

畢氏定理只有在其中一個角恰好為 90° 時才成立。對於其他三角形，應使用餘弦定理：

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

其中 $C$ 是 $c$ 邊的對角。當 $C = 90°$ 時，$\cos(90°) = 0$，餘弦定理恰好化簡為畢氏定理——證明了畢氏定理是更一般性結論的特例。

常見問題（FAQ）

什麼是畢氏三元數？

畢氏三元數是滿足 a² + b² = c² 的三個正整數組。最著名的例子是 (3, 4, 5)：9 + 16 = 25。其他常見的三元數還有 (5, 12, 13)、(8, 15, 17) 和 (7, 24, 25)。任何畢氏三元數的整數倍也是畢氏三元數，例如 (6, 8, 10)。

畢氏定理在現實生活中如何應用？

畢氏定理廣泛應用於建築（確認直角是否準確）、導航（計算直線距離）、物理（求向量大小）以及電腦圖形學（計算二維與三維距離）。木工師傅常用「3-4-5 法則」來放樣直角。

畢氏定理適用於所有三角形嗎？

不，畢氏定理只適用於直角三角形（含有一個 90° 角的三角形）。對於其他三角形，應使用餘弦定理：c² = a² + b² − 2ab cos(C)，其中 C 為 c 邊的對角。