最後更新：2026-05-18

對數的定義

對數是指數運算的反函數：若 $b^y = x$，則 $\log_b(x) = y$，即「底數 $b$ 自乘幾次可得到 $x$」的答案。本計算機同時求出四種常用形式——任意底數、底數 10（常用對數）、底數 e（自然對數）與底數 2（二進位對數）——可供對照比較。

底數與對數尺度

底數決定對數尺度的放大倍率：

• 底數 10——常用對數（$\log_{10}$）。尺度每增加 1，原始值增加 10 倍。應用於分貝（音量）、pH 值（酸鹼度）及芮氏規模（地震）。
• 底數 e ≈ 2.71828——自然對數（$\ln$）。自然出現於指數成長、複利計算、放射性衰變及各種工程公式中。$\ln(x)$ 的導數恰好為 $1/x$，使微積分運算更簡潔。
• 底數 2——二進位對數（$\log_2$）。尺度每增加 1 代表翻倍。應用於資訊理論（位元數）、電腦科學（二元搜尋、樹的深度）及音樂（八度音程）。

計算公式

對正數 $x$ 與正底數 $b \neq 1$，四種對數的定義與換算如下：

任意底數（換底公式）：

$$\log_b(x) = \frac{\ln x}{\ln b}$$

常用對數（底數 10）：

$$\log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$$

自然對數（底數 e）：

$$\ln(x) = \log_e(x)$$

二進位對數（底數 2）：

$$\log_2(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$$

反對數（驗算）：

$$b^{\log_b(x)} = x$$

換底公式的作用在於：工程計算機通常只備有 log（底數 10）與 ln（底數 e）兩個按鍵，透過換底公式即可計算任意底數的對數。

計算範例

範例一：換底公式 — 計算 $\log_5(125)$

$$\log_5(125) = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{4.828}{1.609} = 3$$

驗算：$5^3 = 125$ ✓

範例二：音量差異 — 兩個揚聲器的聲音強度分別為 $I_1 = 0.001\ \text{W/m}^2$ 與 $I_2 = 0.000001\ \text{W/m}^2$，分貝差為：

$$\Delta dB = 10 \log_{10}\!\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 10 \log_{10}(1000) = 10 \times 3 = 30\ \text{dB}$$

兩者差 30 dB，代表聲學功率相差 1,000 倍。

log 與 ln 的符號慣例

「log」在不同領域的含意不同：數學文獻通常以 log 表示自然對數（$\ln$），理工領域則通常以 log 表示常用對數（$\log_{10}$）。程式語言亦有差異：Python 的 math.log(x) 為 $\ln$，math.log10(x) 為 $\log_{10}$。閱讀文獻時需依上下文判斷。

實際應用

領域	對數所衡量的內容
聲音（分貝）	$dB = 10 \log_{10}(P / P_0)$，每增加 10 dB 功率增加 10 倍
化學（pH 值）	$pH = -\log_{10}[\text{H}^+]$，pH 4 比 pH 5 酸 10 倍
地震（芮氏規模）	每增加 1 級，地面振幅增加 10 倍
金融	連續複利成長率：$r = \ln(V_f / V_i) / t$
電腦科學	在 $n$ 筆資料中進行二元搜尋需 $\log_2(n)$ 步
音樂	每個八度音程頻率加倍；$\log_2$ 可計算八度數

常見問題（FAQ）

對數要怎麼計算？

對數 log_b(x) 回答的問題是：「b 的幾次方等於 x？」例如 log₁₀(1000) = 3，因為 10³ = 1000。要計算任意底數的對數，可以使用換底公式：log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b)。一般計算機上的「log」鍵代表常用對數（底 10），「ln」鍵代表自然對數，利用這兩個鍵加上換底公式，就能求出任何底數的對數。

log 和 ln 有什麼差別？

在理工科領域，單獨寫「log」通常指常用對數（以 10 為底）；「ln」則是自然對數，底數為 e ≈ 2.71828。兩者本質上都是對數，差異只在底數不同。值得注意的是，數學文獻有時會以「log」表示自然對數，閱讀時需留意上下文。本計算機同時顯示四種對數，不必擔心混淆。

什麼是換底公式？

換底公式可以將任意底數的對數轉換成計算機能直接計算的形式：log_b(x) = log(x) ÷ log(b) = ln(x) ÷ ln(b)。三種寫法結果完全相同。舉例來說，log₅(125) = ln(125) ÷ ln(5) ≈ 4.828 ÷ 1.609 = 3，這是因為 5³ = 125。本計算機在處理任意底數時，內部正是套用這個公式。

怎麼計算以 2 為底的對數（log₂）？

log₂(x) 表示「2 連乘幾次才能得到 x」。常見數值：log₂(2) = 1、log₂(4) = 2、log₂(8) = 3、log₂(1024) = 10。在資訊科學中，log₂ 直接對應所需的位元數——例如定址 1024 個位置需要剛好 10 個位元。計算方式為換底公式：log₂(x) = ln(x) ÷ ln(2) ≈ ln(x) ÷ 0.6931。