最後更新：2026-06-23

這個計算機的用途

本計算機依摘要統計量執行雙樣本 t 檢定。給定兩個獨立組別的平均數、標準差與樣本數，便回報 t 統計量、自由度與雙尾 p 值——這些是判斷兩組平均數差異是否超出單純抽樣雜訊的標準工具。

雙樣本 t 檢定回答什麼

假設兩組產生不同的平均值——實驗組與對照組、版本 A 與版本 B、來自兩家工廠的樣本。即使底層流程相同，平均值也幾乎不會完全相等，只因每個樣本都帶有隨機變異。雙樣本 t 檢定提出一個精確的問題：若兩母體確實具有相等的平均數，這麼大的差異會有多令人意外？ 答案即為 p 值。

Welch 的 t 公式

本計算機採用 Welch t 檢定，它不假設兩組具有共同的變異數。t 統計量為平均數之差除以該差的標準誤：

其中 $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ 為樣本平均數，$s_1, s_2$ 為樣本標準差，$n_1, n_2$ 為樣本數。分母為標準誤——它隨各組的變異程度增大、隨樣本增大而縮小，故相同的平均數差異在資料越多時越具說服力。

為何選 Welch 而非合併（Student）檢定

經典的 Student t 檢定將兩組標準差合併為單一變異數估計值，僅在兩母體具相等變異數時才正確。如上式所示，Welch 版本將兩變異數分開處理。由於相等變異數在實際資料中是例外而非通則，Welch 檢定是建議的預設方法。當變異數恰好相符時，它的表現與合併檢定幾乎相同；當不相符時，它仍維持準確——尤其在兩組樣本數也不同時。

自由度（Welch–Satterthwaite）

由於變異數未合併，參照分配並不具簡單的整數自由度。Welch 檢定以 Welch–Satterthwaite 方程式近似之：

結果通常並非整數，且介於 $n_1 - 1$ 與 $n_2 - 1$ 中的較小者與兩者之和之間。自由度越少，t 分配的尾部越厚，使檢定在樣本較小或不對等時適度地更為審慎。

p 值及其解讀

一旦 $t$ 與 $df$ 已知，雙尾 p 值為

其中 $F_t$ 為 t 分配的累積分配函數。係數 2 與絕對值計入兩方向的偏離——第 1 組平均數較大或第 2 組平均數較大。

將 p 值與在查看資料前選定的顯著水準 $\alpha$（慣為 0.05）比較：

• p < α——差異具統計顯著性；資料提供反對平均數相等的證據。
• p ≥ α——資料未提供足夠證據以拒絕平均數相等（這與證明其相等並不相同）。

p 值並非平均數相等的機率，不顯著的結果也非「無差異」的證明。它只衡量資料與平均數相等假設的相容程度。

計算範例

第 1 組平均數為 10、標準差為 2、觀測值 30 個；第 2 組平均數為 12、標準差為 2.5、觀測值 30 個。

由於 $p \approx 0.0012$，遠低於 0.05，兩組平均數之間的差異具統計顯著性。

顯著的 p 值告訴我們差異可被偵測，而非其大小。應搭配效果量指標，例如 柯恩 d 值計算器，它以標準差為單位表達平均數之間的落差，且不會隨樣本數膨脹。

假設

雙樣本 t 檢定建立於數項條件之上：

• 獨立性——兩組彼此獨立，且各組內的觀測值彼此獨立。配對或重複量測須改用配對檢定。
• 近似常態——各組大致服從常態分配，或樣本夠大、使中央極限定理讓平均數的抽樣分配近似常態。在中等樣本數且無極端偏態時，此檢定相當穩健。
• 允許變異數不等——Welch 形式直接處理不同的組別變異數，故無須檢定或假設離散程度相等。

比較兩平均數時，宜以 Welch t 檢定作為例行預設。當檢定統計量已是標準化的 z 而非摘要統計量時，Z 分數轉 P 值計算機 會改用常態分配將其轉換為 p 值。