變異數與標準差計算機

最後更新：2026-05-19

變異數與標準差的定義

變異數（variance）是描述資料分散程度的統計量，定義為各數值與平均數之差的平方的平均值。標準差（standard deviation）是變異數的平方根，與原始資料具有相同的單位，是實務上最常用的分散度指標。依資料來源的不同，兩者分為樣本版本（分母為 n−1，採用貝塞爾修正）與母體版本（分母為 n）。

計算項目

輸入逗號分隔的數列，選擇樣本或母體模式，計算結果包含：

• 資料個數（n） — 數列中有效數值的總個數
• 平均數（x̄） — 所有數值的算術平均值
• 離差平方和（SS） — Σ(xᵢ − x̄)²，兩種變異數公式共用的分子
• 變異數 — 樣本為 SS ÷ (n−1)，母體為 SS ÷ n
• 標準差 — 變異數的平方根

可沿用預設數列 4, 8, 15, 16, 23, 42 跟著下方範例一步步驗算。

核心公式

平均數

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

離差平方和

$SS = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

SS 是兩種變異數公式的共同基礎，衡量資料圍繞平均數的總分散程度。

母體變異數與母體標準差

$\sigma^2 = \frac{SS}{n} \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}$

樣本變異數與樣本標準差

$s^2 = \frac{SS}{n-1} \qquad s = \sqrt{s^2}$

計算範例：4, 8, 15, 16, 23, 42

步驟一 — 計算平均數

$\bar{x} = \frac{4 + 8 + 15 + 16 + 23 + 42}{6} = \frac{108}{6} = 18$

步驟二 — 計算各數值的離差平方

xᵢ	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²
4	−14	196
8	−10	100
15	−3	9
16	−2	4
23	+5	25
42	+24	576
SS		910

步驟三甲 — 樣本統計量（n = 6）

$s^2 = \frac{910}{5} = 182 \qquad s = \sqrt{182} \approx 13.49$

步驟三乙 — 母體統計量（n = 6）

$\sigma^2 = \frac{910}{6} \approx 151.67 \qquad \sigma = \sqrt{151.67} \approx 12.32$

貝塞爾修正：n−1 除法的原理

用樣本資料計算變異數時，樣本平均數 x̄ 本身是從同一批資料估算出來的。這導致樣本中各數值到 x̄ 的距離，系統性地比到真實母體平均數 μ 的距離更近——直接除以 n 會低估母體的真實分散程度。

貝塞爾（Friedrich Wilhelm Bessel）的洞察：將分母從 n 改為 n−1，恰好補足這個低估量，使估計量具備不偏性（unbiasedness）——在所有可能的樣本中，s² 的期望值等於 σ²。「少一個自由度」的直覺是：已知 x̄ 和 n−1 個數值後，第 n 個數值已被完全決定，它不再貢獻新的分散資訊。

一個簡單的驗證方式：從 σ² = 100 的母體中重複抽取大量大小為 2 的樣本。所有 SS/n 的平均值會徘徊在 50 附近，而所有 SS/(n−1) 的平均值則接近 100。當 n 很大時，n 與 n−1 差距甚微，兩種公式的結果趨於相同。

樣本與母體的選擇基準

情境	使用
手上有完整母體的每筆資料	母體（÷ n）
資料是從更大母體中抽取的樣本	樣本（÷ n−1）
n 非常大（數千筆以上）	兩者皆可——結果幾乎相同

適用母體公式的例子： 某位學生整個學期五次段考的成績；某支隊伍所有隊員在同一場比賽的得分。

適用樣本公式的例子： 隨機抽取 50 位成年男性的身高，估計全體成年男性的分散程度；從一批 10,000 個零件中抽取 30 個進行品質量測。

拿不定主意時，選擇樣本公式。承認抽樣的不確定性，在統計上是更嚴謹的做法。

標準差的意義

標準差（σ 或 s）是最直觀的分散度指標，因為它與原始資料的單位相同。若某次段考成績的 s = 8 分，可以直接說「大多數同學的成績在平均分數上下 8 分以內」。

對於常態分布（鐘形曲線），有以下的68-95-99.7法則：

範圍	涵蓋比例
μ ± 1σ	約 68% 的數值
μ ± 2σ	約 95% 的數值
μ ± 3σ	約 99.7% 的數值

這些比例對非常態分布只是粗略參考，但仍是初步判斷的實用指引。若某數值距離平均數超過 2σ，便值得進一步確認是否為異常值。

變異數的單位是平方

一個容易忽略的細節：變異數的單位是原始資料單位的平方。身高資料以公分記錄，變異數的單位就是 cm²；收入以新台幣記錄，變異數的單位就是元²。這種平方單位難以直覺解讀——「2500 cm² 的變異數」無法直接在腦中形成畫面。

標準差取了平方根，使單位回到原始資料的量綱，因此在實務中（天氣預報的溫度波動、投資報酬的風險評估、生產線的品質管制）通常報告標準差而非變異數，後者多作為中間計算步驟使用。

常見問題（FAQ）

要用樣本變異數還是母體變異數？

若資料是從較大母體中抽取的部分樣本，請使用樣本變異數（除以 n−1）。例如：從全校 800 名學生中隨機抽取 40 名測量身高，要估計全校的分散程度，就應使用樣本變異數。若手上的資料涵蓋整個研究對象，則使用母體變異數（除以 n）——例如全班 30 位同學在同一次考試中的成績，或某支球隊五位球員在同場比賽的得分。不確定時，選擇樣本變異數是統計上較保守、較嚴謹的做法。

樣本變異數為什麼要除以 n−1 而不是 n？

樣本平均數 x̄ 是從同一批資料計算而來的，因此樣本中各數值到 x̄ 的距離，會比到真實母體平均數 μ 的距離更近一些。直接除以 n 會系統性地低估母體的分散程度。貝塞爾修正（Bessel's correction）將分母改為 n−1，使估計量恢復不偏性——即多次抽樣所得樣本變異數的平均值等於母體變異數。「少一個自由度」反映的是：一旦知道 x̄ 與其中 n−1 個數值，第 n 個數值就已被決定，它不再提供新的分散資訊。當 n 很大時，n 與 n−1 差異甚微，兩種公式結果趨於一致。

變異數的單位是什麼？

變異數的單位是原始資料單位的平方。若資料以公分（cm）記錄，則變異數單位為 cm²；若資料為新台幣（元），則變異數單位為元²。這種平方單位難以直覺解讀，這也是實務上更常報告標準差的原因——標準差取了平方根，單位回到原始資料的單位，便於直接說明。例如，若某次段考成績的標準差為 8 分，可以直接解讀為「大多數同學的成績落在平均分數上下 8 分以內」。

標準差和 Z 分數有什麼關係？

Z 分數（標準分數）衡量某個數值距離平均數有幾個標準差，公式為 z = (x − μ) / σ。標準差就是測量這段距離所用的「刻度尺」。z = 1 表示此數值比平均數高出一個標準差；z = −2 表示比平均數低兩個標準差。在常態分配（鐘形曲線）下，約 68% 的數值落在 μ ± 1σ 範圍內，約 95% 落在 μ ± 2σ 內，約 99.7% 落在 μ ± 3σ 內。若某數值的 |z| > 2，通常值得進一步檢視是否為異常值。