長方體計算機

最後更新：2026-05-18

什麼是長方體？

長方體——又稱直平行六面體或箱形體——是一個由六個矩形面組成的三維形體。所有角度均為直角，且對面完全相同。本計算機可依據三個輸入尺寸，計算體積、總表面積、各面面積及空間對角線。

公式

設長為 $l$、寬為 $w$、高為 $h$：

體積 — 內部所圍空間的大小：

$$V = l \times w \times h$$

總表面積 — 六個面的面積總和：

$$S = 2(lw + lh + wh)$$

六個面分為三對完全相同的面：

面的配對	公式
上面與下面	$l \times w$
前面與後面	$l \times h$
左面與右面	$w \times h$

空間對角線 — 連接兩個對角頂點的最長直線：

$$d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$$

這是畢氏定理的三維延伸。

計算範例

以一個常見的宅配紙箱為例，尺寸為 38 cm × 28 cm × 22 cm。

體積： $V = 38 \times 28 \times 22 = 23{,}408 \text{ cm}^3 = 23.4 \text{ L}$

表面積： $S = 2(38 \times 28 + 38 \times 22 + 28 \times 22) = 2(1064 + 836 + 616) = 5032 \text{ cm}^2$

製作這個箱子大約需要 5032 cm² 的紙板（不含摺邊與重疊部分）。

空間對角線： $d = \sqrt{38^2 + 28^2 + 22^2} = \sqrt{1444 + 784 + 484} = \sqrt{2712} \approx 52.1 \text{ cm}$

能斜放入此箱的物品最長約為 52.1 cm。

表面積公式的推導

長方體恰好有六個面。將對面兩兩配對：

• 兩個面積為 $lw$ 的面 → 貢獻 $2lw$
• 兩個面積為 $lh$ 的面 → 貢獻 $2lh$
• 兩個面積為 $wh$ 的面 → 貢獻 $2wh$

合計：$S = 2lw + 2lh + 2wh = 2(lw + lh + wh)$

實際應用

宅配與物流 — 體積決定能裝入多少件商品；表面積決定包裝材料用量。宅配常見的計費方式會依據材積重量（體積重）計算運費。

魚缸（水族箱）— 體積代表容水量；表面積代表玻璃用量。一個 60 cm × 30 cm × 36 cm 的魚缸可容納 $60 \times 30 \times 36 = 64{,}800 \text{ cm}^3 = 64.8 \text{ L}$ 的水。

建築與木工 — 木材角料是長方體，其體積（單位 m³）乘以密度可得重量；側面面積有助於估算油漆或木器漆的用量。

房間尺寸 — 房間體積決定冷暖氣負荷；地板面積（$l \times w$）決定地板材料用量。

長方體與正方體的區別

正方體是 $l = w = h$ 的特殊情況，公式簡化為 $V = l^3$、$S = 6l^2$。所有正方體都是長方體，但大多數長方體並非正方體。

常見問題（FAQ）

長方體的體積公式是什麼？

長方體體積為 V = 長 × 寬 × 高。例如一個 38 cm × 28 cm × 22 cm 的紙箱，V = 38 × 28 × 22 = 23,408 cm³ ≈ 23.4 公升。三個維度的單位必須統一。

長方體的表面積怎麼算？

表面積為 SA = 2(長×寬 + 長×高 + 寬×高)。長方體有三對相同的矩形面：上下面（長×寬）、前後面（長×高）、左右側面（寬×高）。以 30 × 20 × 15 cm 為例：SA = 2(600 + 450 + 300) = 2,700 cm²。

長方體的空間對角線怎麼計算？

空間對角線是穿過長方體內部、連接兩個對頂點的最長線段，長度為 d = √(長² + 寬² + 高²)，是畢氏定理的三維延伸。以 30 × 20 × 15 cm 為例：d = √(900 + 400 + 225) = √1525 ≈ 39.1 cm。可用於判斷最長物品能否放入箱中。

長方體和正方體有什麼不同？

正方體是三邊等長（長 = 寬 = 高 = a）的特殊長方體，公式簡化為 V = a³、SA = 6a²。只要有任兩邊不等長，就是長方體而非正方體。日常生活中的箱子幾乎都是長方體。