圓台計算機（截頭圓錐）

最後更新：2026-05-20

什麼是圓台？

圓台（又稱截頭圓錐）是將直圓錐用平行於底面的平面截去頂部後所形成的立體。它有兩個圓形截面——較大的底面（半徑 R）和較小的頂面（半徑 r）——由曲面側面連接，垂直高度為 h。

公式總覽

四個輸出量均由 R、r、h 直接推導而來。

母線長度是沿側面從底面圓周到頂面圓周的直線距離，由畢氏定理得出：

$l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$

體積由完整大圓錐減去截去的小圓錐推導而來：

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$

側面積（僅曲面部分）展開後為環形扇形：

$A_{\text{側}} = \pi(R + r)\,l$

全表面積再加上兩個圓形截面：

$A_{\text{全}} = A_{\text{側}} + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R + r)l + \pi(R^2 + r^2)$

圓台與完整圓錐的關係

圓台就是截去頂部的圓錐。當頂面半徑 r = 0 時，公式退化為標準圓錐公式（V = πR²h/3，側面積 = πRl）；當 r = R 時，圓台變為圓柱：母線長度等於高度 h、體積等於 πR²h、側面積等於 2πRh。這兩個特殊情況可用來驗算計算結果是否正確。

計算範例

一個鐵製水桶，桶口直徑 22 公分，桶底直徑 30 公分，高度 32 公分，求容積與所需鐵板面積。

• R = 15 公分，r = 11 公分，h = 32 公分
• $l = \sqrt{(15 - 11)^2 + 32^2} = \sqrt{16 + 1024} = \sqrt{1040} \approx 32.25$ 公分
• V = (π × 32/3) × (225 + 165 + 121) = (π × 32/3) × 511 ≈ 17,124 立方公分 ≈ 17.1 公升
• A_側 = π × (15 + 11) × 32.25 = π × 26 × 32.25 ≈ 2,635 平方公分
• A_全 = 2,635 + π × 225 + π × 121 ≈ 2,635 + 707 + 380 ≈ 3,722 平方公分

這個水桶可裝約 17 公升的水（相當於大型水桶的標準容量），製作桶身所需的鐵板面積約為 3,722 平方公分（含上下蓋），計算時尚未考慮接縫處的裁切損耗。

實際應用場合

• 水桶與油桶 — 薄壁圓台容器；側面積即為所需板材面積，體積決定額定容量。
• 燈罩 — 錐形燈罩是標準圓台，側面積用來計算所需布料或金屬片的裁片尺寸。
• 工業料斗與料倉 — 圓台形料斗引導散料流動，體積計算決定儲量和卸料時間。
• 建築 — 截頭錐形屋頂、冷卻塔局部段落和裝飾柱帽均採用圓台幾何。
• 火箭整流罩 — 圓柱段與錐尖之間的過渡段通常以圓台建模，用於計算阻力係數。

為什麼體積公式有三項？

括號內的 (R² + Rr + r²) 來自代數恆等式，用於在圓台體積推導中消去整個大圓錐的高度。設大圓錐高為 H，截去的小圓錐高為 H − h，則：

$V_{\text{圓台}} = \frac{\pi H}{3} R^2 - \frac{\pi (H - h)}{3} r^2$

利用相似三角形的比例關係 H/R = (H − h)/r 消去 H，化簡後即得到上述緊湊公式。三項 R²、Rr、r² 分別對應底面積、幾何平均截面積和頂面積，各以 h/3 加權——這與辛普森數值積分法的概念完全一致。

常見問題（FAQ）

圓台是什麼形狀？

圓台（又稱截頭圓錐）是將直圓錐用平行於底面的平面截去頂部後所形成的立體。它有兩個圓形截面：較大的底面（半徑 R）和較小的頂面（半徑 r），由一個曲面側面連接。生活中常見的例子包括燈罩、免洗紙杯和水桶。

圓台體積公式怎麼算？

圓台的體積公式為 V = (πh/3)(R² + Rr + r²)，其中 R 為底面半徑、r 為頂面半徑、h 為高度。此公式由兩個圓錐體積相減推導而來。以 R = 5 公分、r = 3 公分、h = 8 公分為例：V = (π × 8/3) × (25 + 15 + 9) ≈ 410.5 立方公分。

頂面半徑和底面半徑相等時，圓台會變成什麼形狀？

當 r = R 時，圓台即退化為圓柱。此時體積公式化簡為 V = πR²h（圓柱體積公式），側面積變為 2πRh，母線長度等於高度 h。這是驗算時的好方法：令 r = R，確認計算機輸出結果與圓柱公式一致。

圓台的母線長度要怎麼計算？

母線長度 l 是沿側面從頂面圓周上任一點到底面圓周上對應點的距離，利用畢氏定理計算：l = √((R − r)² + h²)。以 R = 5 公分、r = 3 公分、h = 8 公分為例：l = √(4 + 64) = √68 ≈ 8.246 公分。