首頁 數學 三角形面積計算機 三角形面積計算機 使用底和高、三邊（海龍公式）、兩邊夾角（SAS）或一邊兩角（ASA）計算三角形的面積。 列印 模式 底和高 海龍公式（三邊） 兩邊夾角（SAS） 一邊兩角（ASA） 輸入 底 b 與高 h 的三角形以選定的邊作為底 b，從對應頂點向底 b 所作的垂直高度為 h 的三角形。bhABC 底邊 高 結果 面積 三角形所圍成的平面範圍大小，以平方單位表示。 b = 6h = 4 面積 \begin{aligned} A &= \dfrac{b h}{2} \\ &= \dfrac{(6)(4)}{2} \\ &= ? \end{aligned} 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-05-21 三角形：幾何學中最簡單的多邊形 三角形是具有三條邊和三個角的多邊形，是二維幾何學中最簡單的封閉圖形。本計算機提供四種方法：底邊與高、海龍公式（三邊）、SAS（兩邊夾角）以及 ASA（一邊兩角）。 底邊與高的計算方法 最直接的公式為： A=12×b×hA = \frac{1}{2} \times b \times h 其中 bb 是所選底邊的長度，hh 是垂直高度——從底邊到對面頂點的垂直距離。 此公式適用於所有三角形類型： 銳角三角形：高的垂足落在底邊內部。 直角三角形：其中一直角邊為底邊，另一直角邊為高。 鈍角三角形：高的垂足落在底邊延長線上，但公式依然成立。 因數 ½ 的由來 三角形恰好是底邊和高相同的平行四邊形的一半。將三角形複製一份，旋轉 180° 後拼接，可得面積為 b×hb \times h 的平行四邊形。因此三角形的面積為 b×h2\frac{b \times h}{2}。 海龍公式 當只知道三邊長度，而不知道高度或角度時，可直接用海龍公式求面積： s=a+b+c2s = \frac{a + b + c}{2} A=s(s−a)(s−b)(s−c)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 此處 ss 為半周長（周長的一半）。此公式源自亞歷山大的海龍（約西元 60 年）。 計算範例：3-4-5 直角三角形 s=3+4+52=6s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 A=6×(6−3)×(6−4)×(6−5)=6×3×2×1=36=6A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 用底邊乘以高驗算：兩直角邊 3 和 4 互相垂直，所以 A=12×3×4=6A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6。兩種方法結果相同。 SAS：兩邊夾角 已知兩邊 pp、qq 及其夾角 CC 時，面積為： A=12 p q sinCA = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C 由底邊與高的公式推導：以 pp 為底邊，則高等於 qsinCq \sin C（qq 在 pp 上的垂直分量）。 例： $p = 5$，$q = 7$，$C = 60°$ A=12×5×7×sin60°=3534≈15.16A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.16 當 $C = 90°$ 時，sin90°=1\sin 90° = 1，公式化簡為直角三角形面積 12pq\frac{1}{2} p q。 ASA：一邊兩角 已知邊 cc 及其兩端角 AA、BB 時，面積為： A=c2sinAsinB2sin(A+B)A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)} 利用正弦定理將另外兩邊以 cc 表示，代入 SAS 公式推導而得。第三角為 $C = 180° - A - B$。 例： $c = 8$，$A = 50°$，$B = 60°$（即 $C = 70°$） A=64×sin50°×sin60°2×sin110°≈22.6A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22.6 三角不等式 並非任意三個正數都能構成三角形。三個長度 aa、bb、cc 構成有效三角形，當且僅當： a+b>c,b+c>a,a+c>ba + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b 若其中任一條件不成立，則無法構成三角形。在海龍公式中，違反此條件會使根號內出現負數，表示輸入在幾何上不可能成立。 邊長有效？原因3, 4, 5是3+4=7 > 5 ✓1, 2, 10否1+2=3 < 10 ✗5, 5, 5是等邊三角形 ✓ 現實應用 建築與土木工程。三角形桁架是屋頂、橋梁與吊車的骨架，因為三角形是唯一在承受荷載時不會變形的多邊形。 測量。土地測量員量測地塊的三條邊，用海龍公式計算面積，不需要另立垂線。 電腦圖形。所有 3D 表面都由三角形網格逼近。GPU 透過計算三角形面積來處理光照、陰影和碰撞偵測。 導航。三角測量利用三個已知參考點的距離來確定未知位置。 若三角形為直角三角形，可先用 畢氏定理計算機 求出缺失邊長再計算面積。其他相關圖形可參閱 圓形面積與周長計算機 與 正多邊形計算機。 常見問題（FAQ）三角形面積的公式是什麼？最常用的公式為 A = ½ × 底邊 × 高，其中高是從底邊到對頂點的垂直距離。只要知道底邊及其對應的高，此公式適用於任何三角形。 什麼是海龍公式？海龍公式可以在不知道高的情況下，由三邊長 a、b、c 求出面積。先計算半周長 s = (a + b + c) ÷ 2，再代入 A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))。以 3-4-5 直角三角形為例：s = 6，A = 6。 何時三個長度無法構成三角形？三個長度能構成有效三角形，必須滿足任意兩邊之和大於第三邊（三角不等式）。邊長 1、2、10 不成立，因為 1 + 2 = 3 < 10，海龍公式的根號內會出現負值。 如何用兩邊夾角求面積？知道兩邊 p、q 及夾角 C 時，面積 = ½ × p × q × sin(C)。例：p = 5，q = 7，C = 60° → A = ½ × 5 × 7 × sin(60°) ≈ 15.16。這是因為三角形的高等於 q × sin(C)。 如何用一邊兩角求面積？知道邊 c 及其兩端角 A、B 時（C = 180° − A − B），面積 = c² × sin(A) × sin(B) ÷ (2 × sin(A + B))。例：c = 8，A = 50°，B = 60° → A = 64 × sin(50°) × sin(60°) ÷ (2 × sin(110°)) ≈ 22.6。 推薦的下一個 直角三角形計算機 輸入任意兩個已知值（邊長或角度），計算直角三角形的其餘邊長、角度、面積與周長。支援畢氏定理與三角函數四種解法。 深入了解畢氏定理計算機 利用畢氏定理（a² + b² = c²）計算直角三角形的任意一邊。輸入任意兩邊，即可求出第三邊。 深入了解圓形面積與周長計算機 輸入半徑、直徑、圓周或面積任一數值，即可計算圓的所有屬性——含公式與逐步推導。 深入了解正多邊形計算機 輸入邊數與邊長，計算正多邊形的面積、周長、內角、外角、內切圓半徑（邊心距）及外接圓半徑。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機 +17 more Show less 平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機圓弓形計算機圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機環形面積計算機 其他數學計算機 代數 一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器三次方程式求解器多項式定積分計算機多項式導數計算機配方法計算機絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）立體幾何 四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）餘弦定理計算機統計 加權平均計算機平均數、中位數與眾數計算機皮爾森相關係數計算機百分比誤差計算機信賴區間計算機描述統計計算機變異係數計算機變異數與標準差計算機Z分數計算機機率 二項分布機率計算機常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 平均變化率計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 科學記數法轉換器最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機質因數分解計算機質數判斷器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-05-21 三角形：幾何學中最簡單的多邊形 三角形是具有三條邊和三個角的多邊形，是二維幾何學中最簡單的封閉圖形。本計算機提供四種方法：底邊與高、海龍公式（三邊）、SAS（兩邊夾角）以及 ASA（一邊兩角）。 底邊與高的計算方法 最直接的公式為： A=12×b×hA = \frac{1}{2} \times b \times h 其中 bb 是所選底邊的長度，hh 是垂直高度——從底邊到對面頂點的垂直距離。 此公式適用於所有三角形類型： 銳角三角形：高的垂足落在底邊內部。 直角三角形：其中一直角邊為底邊，另一直角邊為高。 鈍角三角形：高的垂足落在底邊延長線上，但公式依然成立。 因數 ½ 的由來 三角形恰好是底邊和高相同的平行四邊形的一半。將三角形複製一份，旋轉 180° 後拼接，可得面積為 b×hb \times h 的平行四邊形。因此三角形的面積為 b×h2\frac{b \times h}{2}。 海龍公式 當只知道三邊長度，而不知道高度或角度時，可直接用海龍公式求面積： s=a+b+c2s = \frac{a + b + c}{2} A=s(s−a)(s−b)(s−c)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 此處 ss 為半周長（周長的一半）。此公式源自亞歷山大的海龍（約西元 60 年）。 計算範例：3-4-5 直角三角形 s=3+4+52=6s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 A=6×(6−3)×(6−4)×(6−5)=6×3×2×1=36=6A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 用底邊乘以高驗算：兩直角邊 3 和 4 互相垂直，所以 A=12×3×4=6A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6。兩種方法結果相同。 SAS：兩邊夾角 已知兩邊 pp、qq 及其夾角 CC 時，面積為： A=12 p q sinCA = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C 由底邊與高的公式推導：以 pp 為底邊，則高等於 qsinCq \sin C（qq 在 pp 上的垂直分量）。 例： $p = 5$，$q = 7$，$C = 60°$ A=12×5×7×sin60°=3534≈15.16A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.16 當 $C = 90°$ 時，sin90°=1\sin 90° = 1，公式化簡為直角三角形面積 12pq\frac{1}{2} p q。 ASA：一邊兩角 已知邊 cc 及其兩端角 AA、BB 時，面積為： A=c2sinAsinB2sin(A+B)A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)} 利用正弦定理將另外兩邊以 cc 表示，代入 SAS 公式推導而得。第三角為 $C = 180° - A - B$。 例： $c = 8$，$A = 50°$，$B = 60°$（即 $C = 70°$） A=64×sin50°×sin60°2×sin110°≈22.6A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22.6 三角不等式 並非任意三個正數都能構成三角形。三個長度 aa、bb、cc 構成有效三角形，當且僅當： a+b>c,b+c>a,a+c>ba + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b 若其中任一條件不成立，則無法構成三角形。在海龍公式中，違反此條件會使根號內出現負數，表示輸入在幾何上不可能成立。 邊長有效？原因3, 4, 5是3+4=7 > 5 ✓1, 2, 10否1+2=3 < 10 ✗5, 5, 5是等邊三角形 ✓ 現實應用 建築與土木工程。三角形桁架是屋頂、橋梁與吊車的骨架，因為三角形是唯一在承受荷載時不會變形的多邊形。 測量。土地測量員量測地塊的三條邊，用海龍公式計算面積，不需要另立垂線。 電腦圖形。所有 3D 表面都由三角形網格逼近。GPU 透過計算三角形面積來處理光照、陰影和碰撞偵測。 導航。三角測量利用三個已知參考點的距離來確定未知位置。 若三角形為直角三角形，可先用 畢氏定理計算機 求出缺失邊長再計算面積。其他相關圖形可參閱 圓形面積與周長計算機 與 正多邊形計算機。 常見問題（FAQ）三角形面積的公式是什麼？最常用的公式為 A = ½ × 底邊 × 高，其中高是從底邊到對頂點的垂直距離。只要知道底邊及其對應的高，此公式適用於任何三角形。 什麼是海龍公式？海龍公式可以在不知道高的情況下，由三邊長 a、b、c 求出面積。先計算半周長 s = (a + b + c) ÷ 2，再代入 A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))。以 3-4-5 直角三角形為例：s = 6，A = 6。 何時三個長度無法構成三角形？三個長度能構成有效三角形，必須滿足任意兩邊之和大於第三邊（三角不等式）。邊長 1、2、10 不成立，因為 1 + 2 = 3 < 10，海龍公式的根號內會出現負值。 如何用兩邊夾角求面積？知道兩邊 p、q 及夾角 C 時，面積 = ½ × p × q × sin(C)。例：p = 5，q = 7，C = 60° → A = ½ × 5 × 7 × sin(60°) ≈ 15.16。這是因為三角形的高等於 q × sin(C)。 如何用一邊兩角求面積？知道邊 c 及其兩端角 A、B 時（C = 180° − A − B），面積 = c² × sin(A) × sin(B) ÷ (2 × sin(A + B))。例：c = 8，A = 50°，B = 60° → A = 64 × sin(50°) × sin(60°) ÷ (2 × sin(110°)) ≈ 22.6。
