向量外積計算機（三維）

最後更新：2026-05-26

什麼是外積？

兩個三維向量 a 與 b 的外積（向量積），記作 c = a × b，是一個同時垂直於 a 和 b 的向量，其模長為 |a||b|sin θ，其中 θ 為兩向量的夾角。

計算公式

外積透過 3×3 行列式定義：

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\,\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\,\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,\mathbf{k}$$

展開餘因子後，得到三個純量分量：

$$c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2, \quad c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3, \quad c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1$$

結果向量的模長（同時也是 a 與 b 所張平行四邊形的面積）為：

$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}$$

右手定則

a × b 的方向由右手定則決定：將右手四指沿 a 方向伸直，再沿較小夾角朝 b 彎曲，拇指所指即為 a × b 的方向。外積具有反交換性：b × a = −(a × b)，交換兩向量的順序會使結果方向反轉。

計算範例

設 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)。

$$c_1 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3$$ $$c_2 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6$$ $$c_3 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3$$

因此 a × b = (−3, 6, −3)，模長為：

$$\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348$$

此值同時也是以 a、b 為鄰邊的平行四邊形面積。

幾何意義

|a × b| 等於以 a、b 為鄰邊的平行四邊形面積；將此值除以 2 即得這兩個向量所圍三角形的面積，此結果常見於三維幾何與電腦圖學中，用於從頂點座標計算曲面面積。

當兩向量平行時，sin θ = 0，故 a × b = 0。這提供了一個實用的共線性判斷方法：若兩邊向量的外積為零向量，則對應的三點共線。

外積的維度限制

標準外積恰好需要三個維度，才能透過行列式方法得到唯一一個垂直於兩給定向量的向量。二維空間缺少第三條軸；四維及以上的空間中，垂直於兩個向量的方向構成一個多維子空間，不存在唯一的「垂直向量」。七維空間中存在以八元數代數為基礎的推廣形式，但三維外積幾乎涵蓋了物理、工程及電腦圖學中的全部實際應用。

應用場景

外積在需要求垂直軸或面積的場合廣泛應用：

• 力矩：τ = r × F，r 為力臂，F 為作用力。
• 角動量：L = r × p。
• 曲面法向量：三維算繪中，三角形多邊形的法向量即其兩條邊向量的外積。
• 磁力（勞倫茲力）：F = q(v × B)，描述運動電荷在磁場中所受的力。
• 三角形面積：兩條邊向量外積的模長除以 2。

常見問題（FAQ）

向量外積的幾何意義是什麼？

外積 a × b 的結果是一個同時垂直於 a 和 b 的向量，其方向由右手定則決定，模長等於 |a||b|sin θ（θ 為兩向量夾角）。幾何上，模長即以 a、b 為鄰邊的平行四邊形面積。若 a × b = 0，則兩向量平行（或其中一個為零向量）。

什麼是右手定則？

將右手四指指向 a 的方向，再彎向 b（沿較小夾角方向），拇指所指即為 a × b 的方向。需注意外積具有反交換性：b × a = −(a × b)，交換兩向量的順序會使結果反向。

為什麼外積只在三維（以及七維）空間中定義？

標準外積恰好需要三個維度，才能用行列式方法求出唯一一個垂直於兩個給定向量的向量。二維空間沒有第三條軸；四維及更高維度中，垂直於兩個向量的方向不只一個，因此無法得到唯一結果。七維空間中存在以八元數代數為基礎的推廣形式，但三維外積在物理、工程及電腦圖學中的應用最為廣泛。

外積何時為零向量？

當兩向量平行（包含反平行）或其中一個為零向量時，a × b = 0。此時 sin θ = 0，模長 |a||b|sin θ = 0。從幾何角度來看，平行的兩向量無法張成有面積的區域，平行四邊形退化為線段。