常態分佈計算機

最後更新：2026-05-18

常態分佈計算機

本計算機能針對任意常態分佈，計算 Z 分數、累積機率 P(X < x)、P(X > x)、百分位數及機率密度 f(x)。輸入觀測值、母群平均數與標準差，即可取得結果，無需查表。

常態分佈

常態分佈（又稱高斯分佈）是以平均數為軸的對稱連續機率分佈，形狀如一口倒扣的鐘。許多自然現象都近似常態分佈：身高、測量誤差、學科成績、智力測驗分數等，樣本數夠大時皆呈現鐘形曲線。

其形狀完全由兩個參數決定：

• μ（平均數）：分佈的中心
• σ（標準差）：數值散布的程度，σ 越大，曲線越寬平

機率密度函數為：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

Z 分數

Z 分數將原始值轉換為「距離平均數幾個標準差」的無因次數：

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Z 分數	意義
z = 0	等於平均數
z = 1	高於平均數一個標準差
z = −2	低於平均數兩個標準差
z > 3	極端值，發生機率 < 0.3%

Z 分數讓來自不同量尺的分佈可以互相比較，例如學測總級分與學期 GPA 的相對表現。

累積機率：P(X < x)

P(X < x) 是鐘形曲線在 x 左側的面積，代表從此分佈隨機取值時，取到小於 x 的機率：

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

其中 Φ(z) 是標準常態分佈 N(0, 1) 的累積分佈函數（CDF），erf 是誤差函數（error function）——一種特殊函數，定義為 $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$。

本計算機採用 Abramowitz & Stegun §7.1.26 的有理逼近公式（最大誤差 < 1.5 × 10⁻⁷），精確至 6 位有效數字。

68–95–99.7 法則

對任意常態分佈，三個整數比例概括了絕大多數的數值範圍：

範圍	機率
μ ± 1σ	約 68.3%
μ ± 2σ	約 95.4%
μ ± 3σ	約 99.7%

換言之，每 370 個數值中只有約 1 個會落在平均數 3 個標準差之外。品質管理常以「3σ 管制」或「六個標準差（6σ）」作為製程良率的基準。

計算範例

某班學生考試成績的平均數 μ = 72，標準差 σ = 8，某同學得分 x = 85。

$$z = \frac{85 - 72}{8} = 1.625$$ $$P(X < 85) = \Phi(1.625) \approx 0.9479$$

這位同學的成績落在約 第 95 百分位，優於全班約 94.8% 的同學。僅有最頂端約 5.2% 的同學分數更高。

機率密度 f(x) 與累積機率的差別

量	符號	意義
機率密度	f(x)	曲線在 x 處的高度——本身不是機率
累積機率	P(X < x)	曲線在 x 左側的面積——才是真正的機率

對標準差很小的分佈，f(x) 的值可以超過 1，因為它是密度而非機率。在連續分佈中，任意單一精確值的機率永遠為零，只有一個區間才具有非零的機率。

常見問題（FAQ）

Z 分數是什麼？怎麼計算？

Z 分數表示某個數值距離平均數幾個標準差：z = (x − μ) / σ。Z = 0 代表該值等於平均數；Z = 1 表示高於平均數一個標準差；Z = −2 表示低於平均數兩個標準差。Z 分數能將不同規模的分佈換算到同一尺度，方便跨分佈比較。例如，學測與學期成績的直接比較就常用到 Z 分數標準化。

P(X < x) 在常態分佈中代表什麼意思？

P(X < x) 是累積機率，即從此分佈隨機取出的數值小於 x 的機率，等於鐘形曲線在 x 左側的面積。舉例來說，P(X < 75) = 0.69 表示約 69% 的數值落在 75 以下。而 P(X > x) = 1 − P(X < x) 則對應右側的面積，代表超過 x 的機率。

68-95-99.7 法則是什麼？

對任意常態分佈而言，約 68% 的數值落在平均數 ±1 個標準差內（Z 介於 −1 與 +1 之間）、約 95% 落在 ±2 個標準差內、約 99.7% 落在 ±3 個標準差內。這也是為何 |Z| > 3 的值被視為統計上的離群值——在常態分佈中發生的機率不到 0.3%，品質管理領域常以此作為管制界限。

如何從 Z 分數求得百分位數？

百分位數等於 P(X < x) × 100。Z = 0 對應第 50 百分位（恰好有一半的數值低於平均數）；Z = 1.28 約對應第 90 百分位；Z = 1.645 約對應第 95 百分位；Z = 2.326 約對應第 99 百分位。本計算機直接算出百分位數，不需要查 Z 分數表。