Dernière mise à jour : 2026-06-23

Le théorème de Bayes

Le théorème de Bayes est une règle qui permet d'actualiser une probabilité lorsqu'un nouvel indice apparaît. Il part d'une croyance initiale sur la vraisemblance d'un événement, la combine avec la force avec laquelle l'indice penche dans un sens ou dans l'autre, et renvoie une croyance révisée. Ce calculateur l'applique au cas le plus courant — un test diagnostique — en transformant la prévalence d'une maladie et la précision d'un test en la probabilité qu'un résultat positif soit réel.

Probabilité conditionnelle

Une probabilité conditionnelle $P(A|B)$ est la probabilité que $A$ soit vrai sachant que $B$ a été observé. Elle diffère de la probabilité simple $P(A)$ parce que l'observation de $B$ apporte une information. Un test médical positif ne rend pas une maladie certaine ; il fait monter la probabilité d'une quantité qui dépend à la fois de la qualité du test et de la fréquence initiale de la maladie. Le calculateur Calculateur de probabilité conditionnelle et théorème de Bayes apparenté travaille directement avec $P(A \cap B)$ et $P(B)$ lorsque ces valeurs sont connues.

La formule

Le théorème de Bayes relie les deux directions conditionnelles :

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

Chaque terme porte un nom :

• L'a priori $P(A)$ est la probabilité de $A$ avant l'indice — pour un test, la prévalence de la maladie.
• La vraisemblance $P(B|A)$ est la probabilité de l'indice lorsque $A$ est vrai — la sensibilité du test, ou taux de vrais positifs.
• La marginale (ou évidence) $P(B)$ est la probabilité globale d'observer l'indice, sur les cas où $A$ est vrai et ceux où il ne l'est pas. Elle se développe en $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$, où $P(B|\lnot A)$ est le taux de faux positifs.
• L'a posteriori $P(A|B)$ est le résultat : la probabilité de $A$ après l'indice.

Le sophisme du taux de base

L'erreur la plus fréquente dans la lecture d'un résultat de test consiste à confondre la précision du test avec la probabilité qu'un positif soit réel. Ce sont des questions différentes, et lorsque la maladie est rare leurs réponses divergent fortement. Un test sensible à 90 % et spécifique à 95 % paraît fiable, mais si seulement 1 personne sur 100 est atteinte, le faible taux de faux positifs s'applique aux 99 personnes saines — et elles sont si nombreuses que les fausses alertes l'emportent plusieurs fois sur les vrais positifs. Ignorer ainsi la prévalence porte le nom de sophisme du taux de base.

Exemple chiffré

Supposons qu'une maladie touche 1 % de la population testée, que le test détecte 90 % des cas réels et qu'il signale à tort 5 % des personnes saines. L'a priori est une prévalence de 0,01, la sensibilité est de 0,90 et le taux de faux positifs de 0,05 :

Ainsi, un résultat positif fait passer la probabilité de la maladie de 1 % à environ 15 %. Le test a beaucoup déplacé l'aiguille — d'un facteur quinze — et pourtant un seul positif laisse le résultat plus probablement faux que vrai. C'est pourquoi le dépistage d'une maladie rare est généralement suivi d'un second test plus spécifique plutôt que tenu pour concluant.

Prolongements

Le même théorème peut s'écrire sous forme de cotes, ce qui rend souvent l'actualisation plus simple à raisonner : la cote a posteriori est égale à la cote a priori multipliée par le rapport de vraisemblance $P(B|A) / P(B|\lnot A)$. Pour l'exemple ci-dessus, la cote a priori est de un contre quatre-vingt-dix-neuf et le rapport de vraisemblance vaut dix-huit, ce qui donne une cote a posteriori de dix-huit contre quatre-vingt-dix-neuf, soit environ 15 % — le même résultat. Le calculateur Calculateur de rapport de cotes apparenté compare directement deux de ces rapports.

Le théorème de Bayes admet aussi une actualisation séquentielle : après un test, l'a posteriori devient l'a priori du suivant. Deux tests positifs indépendants, appliqués l'un après l'autre, font monter la probabilité bien plus haut que chacun pris isolément — c'est précisément ainsi que le test de confirmation gagne sa fiabilité. Chaque fois que les indices s'accumulent pièce à pièce, la même règle s'applique à chaque étape, la conclusion de la veille servant de point de départ du jour.