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Calculateur de rapport de cotes

Données

Exposés, événement30
Exposés, sans événement70
Non exposés, événement10
Non exposés, sans événement90

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/math/odds-ratio

Mathématiques

Calculateur de rapport de cotes

Calcule le rapport de cotes à partir d'un tableau de contingence 2×2, avec un intervalle de confiance à 95 % obtenu par la méthode logarithmique de Woolf. Saisissez les quatre effectifs des cellules selon l'exposition et l'événement.

Données

Tableau de contingence (2×2)

Résultats

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Détails

\begin{aligned} OR &= \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} \\ &= \dfrac{(30) \cdot (90)}{(70) \cdot (10)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \text{95\% CI} &= \exp\!\big(\ln OR \pm 1.96 \cdot SE\big) \\ SE &= \sqrt{\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c} + \tfrac{1}{d}} = ? \\ &= [\,?,\ ?\,] \end{aligned}

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Ce que mesure le rapport de cotes

La cote d'un événement est le nombre de fois où il survient divisé par le nombre de fois où il ne survient pas. Si 30 sujets exposés sur 100 développent un événement, la cote est de 30 contre 70, soit 0,43. Le rapport de cotes (RC) compare les cotes de deux groupes — généralement un groupe exposé et un groupe non exposé — en divisant un jeu de cotes par l'autre. C'est l'une des mesures d'effet les plus utilisées en épidémiologie, en particulier pour les études cas-témoins, et c'est la quantité estimée par la régression logistique.

Le tableau 2×2

La plupart des calculs de rapport de cotes partent d'un tableau de contingence à deux entrées qui classe chaque sujet selon l'exposition et l'événement :

ÉvénementSans événement
Exposésab
Non exposéscd

Ici, a compte les sujets exposés ayant présenté l'événement (cas), b compte les sujets exposés ne l'ayant pas présenté (témoins), c compte les sujets non exposés ayant présenté l'événement, et d compte les sujets non exposés ne l'ayant pas présenté.

La formule

La cote de l'événement chez les exposés est a/b ; chez les non exposés, elle est c/d. Leur rapport se simplifie en produit croisé du tableau :

RC=a/bc/d=a⋅db⋅cRC = \frac{a/b}{c/d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Interprétation

  • RC > 1 — l'événement est plus probable dans le groupe exposé ; l'exposition est associée à une cote accrue.
  • RC = 1 — la cote est identique dans les deux groupes ; il n'y a aucune association.
  • RC < 1 — l'événement est moins probable dans le groupe exposé ; l'exposition est associée à une cote réduite, ce qui suggère un effet protecteur.

Le rapport de cotes est symétrique : le RC de l'événement sachant l'exposition est égal au RC de l'exposition sachant l'événement, ce qui explique en partie sa validité dans les protocoles cas-témoins où les totaux marginaux sont fixés par l'échantillonnage.

L'intervalle de confiance à 95 %

Une estimation ponctuelle seule ne dit rien de la précision. Comme la distribution d'échantillonnage du rapport de cotes est asymétrique, l'intervalle de confiance est construit sur l'échelle du logarithme naturel, où la distribution de ln(RC) est approximativement normale. C'est la méthode de Woolf. L'erreur-type de ln(RC) est

SEln⁡RC=1a+1b+1c+1dSE_{\ln RC} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}

L'intervalle s'obtient en s'écartant de 1,96 erreur-type de part et d'autre de ln(RC), puis en revenant par exponentiation :

IC aˋ 95%=exp⁡ ⁣(ln⁡RC±1.96⋅SEln⁡RC)\text{IC à 95\%} = \exp\!\big(\ln RC \pm 1.96 \cdot SE_{\ln RC}\big)

Chaque cellule doit être non nulle pour que cette formule soit définie, puisque chacune contribue par un terme 1/cellule. Lorsqu'une cellule est vide, on ajoute souvent 0,5 à chaque effectif (correction de Haldane-Anscombe) avant de calculer l'intervalle.

Exemple résolu

Avec le tableau par défaut — a = 30, b = 70, c = 10, d = 90 :

RC=30×9070×10=2700700=3.8571SEln⁡RC=130+170+110+190=0.3984IC aˋ 95%=exp⁡ ⁣(ln⁡3.8571±1.96×0.3984)=[ 1.767, 8.422 ]\begin{aligned} RC &= \frac{30 \times 90}{70 \times 10} = \frac{2700}{700} = 3.8571 \\ SE_{\ln RC} &= \sqrt{\tfrac{1}{30} + \tfrac{1}{70} + \tfrac{1}{10} + \tfrac{1}{90}} = 0.3984 \\ \text{IC à 95\%} &= \exp\!\big(\ln 3.8571 \pm 1.96 \times 0.3984\big) \\ &= [\,1.767,\ 8.422\,] \end{aligned}

Le groupe exposé présente une cote de l'événement près de quatre fois supérieure, et comme l'intervalle se situe entièrement au-dessus de 1, l'association est statistiquement significative au seuil de 5 %.

Rapport de cotes et risque relatif

Le rapport de cotes est souvent confondu avec le risque relatif (RR), qui compare des probabilités plutôt que des cotes. Les deux coïncident uniquement lorsque l'événement est rare. À mesure que l'événement devient plus fréquent, le rapport de cotes s'éloigne davantage de 1 que le risque relatif, si bien qu'un RC présenté comme s'il s'agissait d'un RR peut surestimer l'effet.

Le choix de la mesure découle de la conception de l'étude. Les études de cohorte et transversales échantillonnent selon le statut d'exposition et peuvent estimer directement les risques ; le risque relatif — voir le Calculateur de risque relatif — est donc généralement préféré, et une différence de risque significative peut être traduite en Calculateur du nombre de sujets à traiter (NST). Les études cas-témoins échantillonnent selon le statut de l'événement, fixant le nombre de cas et de témoins, ce qui rend les risques inestimables ; le rapport de cotes est alors la mesure naturelle et valide. L'hypothèse de maladie rare — selon laquelle l'événement survient chez bien moins d'environ 10 % de chaque groupe — est ce qui permet au rapport de cotes d'approcher le risque relatif dans le cadre des études cas-témoins.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce qu'un rapport de cotes ?

Un rapport de cotes (RC) compare la cote d'un événement entre deux groupes. La cote est le nombre d'événements divisé par le nombre de non-événements. À partir d'un tableau 2×2 dont les cellules sont a (cas exposés), b (témoins exposés), c (cas non exposés) et d (témoins non exposés), le rapport de cotes vaut RC = (a·d) / (b·c).

RC = 1 signifie que la cote est identique dans les deux groupes ; RC > 1 signifie que l'événement est plus probable avec l'exposition ; RC < 1 signifie qu'il est moins probable.

En quoi le rapport de cotes diffère-t-il du risque relatif ?

Le risque relatif (RR) compare des probabilités — la chance de survenue de l'événement dans chaque groupe — tandis que le rapport de cotes compare des cotes. Le RR ne peut être calculé directement que si l'échantillon reflète la véritable population à risque, comme dans une étude de cohorte.

Dans les études cas-témoins, le nombre de cas et de témoins est fixé par la conception de l'étude ; les risques ne peuvent donc pas être estimés et l'on utilise le rapport de cotes à la place. Lorsque l'événement est rare, le RC approche étroitement le RR ; lorsque l'événement est fréquent, le RC s'éloigne davantage de 1 que le RR.

Comment lire l'intervalle de confiance à 95 % ?

L'intervalle de confiance donne la plage des valeurs du rapport de cotes compatibles avec les données. Sa largeur reflète la précision : les petits échantillons et les événements rares donnent des intervalles larges.

La valeur de référence essentielle est 1 (absence d'association). Si l'intervalle exclut 1 — par exemple [1,77, 8,42] — l'association est statistiquement significative au seuil de 5 %. Si l'intervalle contient 1 — par exemple [0,6, 1,9] — les données sont compatibles avec une absence d'effet.

Quand le rapport de cotes surestime-t-il le risque relatif ?

Le rapport de cotes se situe toujours plus loin de 1 que le risque relatif correspondant, et l'écart se creuse à mesure que l'événement devient plus fréquent. L'hypothèse de maladie rare — selon laquelle l'événement survient chez bien moins d'environ 10 % de chaque groupe — maintient le RC proche du RR.

Lorsque l'événement est fréquent, présenter un RC comme s'il s'agissait d'un RR peut exagérer sensiblement l'effet apparent ; il convient donc de distinguer soigneusement les deux mesures.

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