Dernière mise à jour : 2026-07-01

Test du khi-deux d'indépendance

Le test du khi-deux d'indépendance demande si deux variables catégorielles mesurées sur les mêmes sujets sont liées ou indépendantes. Les données vivent dans un tableau de contingence : chaque cellule contient le nombre d'observations tombant dans une combinaison de catégories — pour un tableau 2×2, deux catégories par variable. Le test compare les effectifs réellement observés à ceux qu'on attendrait si les deux variables n'avaient aucune relation, et renvoie une statistique, ses degrés de liberté et une valeur p. C'est l'outil standard pour des questions comme : un traitement est-il associé à un résultat, une préférence dépend-elle de l'appartenance à un groupe, ou deux réponses d'enquête évoluent-elles ensemble ?

Effectifs attendus sous l'indépendance

Si deux variables sont indépendantes, la proportion de l'échantillon dans une ligne ne devrait pas dépendre de la colonne considérée. Cela fixe ce que chaque cellule devrait contenir. L'effectif attendu d'une cellule est son total de ligne multiplié par son total de colonne, divisé par le total général :

$E_{ij} = \frac{(\text{total ligne } i)\,(\text{total colonne } j)}{N}$

où $N$ est le nombre total d'observations. C'est simplement la fraction de l'échantillon dans la ligne $i$ multipliée par la fraction dans la colonne $j$, ramenée à $N$. Point essentiel : les effectifs attendus proviennent des marges du tableau lui-même — vous ne les fournissez pas, ce qui distingue ce test de celui d'adéquation.

La statistique

Le test résume l'écart entre observation et attente par la statistique de Pearson :

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

sommée sur chaque cellule, où $O$ est un effectif observé et $E$ son effectif attendu. Chaque écart au carré est divisé par l'effectif attendu, de sorte qu'un écart de dix pèse lourd lorsqu'on en attendait cinq mais peu lorsqu'on en attendait cinq mille. La somme donne un seul nombre qui croît à mesure que le tableau s'éloigne de l'indépendance. Lorsque les effectifs observés égalent exactement les effectifs attendus, chaque terme est nul et $\chi^2 = 0$.

Pour un tableau 2×2, toute la somme se réduit à un raccourci algébrique compact. En étiquetant les cellules comme

la statistique vaut

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

Les quatre facteurs du dénominateur sont les deux totaux de ligne et les deux totaux de colonne. Le terme de produit croisé $ad - bc$ mesure à quel point le tableau s'écarte de la proportionnalité : il est nul exactement lorsque les lignes sont proportionnelles, ce qui correspond à l'indépendance parfaite.

Degrés de liberté et valeur p

La statistique est comparée à une loi du khi-deux dont la forme est fixée par ses degrés de liberté. Pour un tableau de contingence,

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

où $r$ est le nombre de lignes et $c$ celui de colonnes. Un tableau 2×2 a donc un degré de liberté. Intuitivement, une fois les totaux de ligne et de colonne fixés, remplir une seule cellule détermine toutes les autres, si bien qu'une seule cellule est libre de varier.

La valeur p est la probabilité de la queue supérieure — la chance de voir une statistique au moins aussi grande que celle observée si les deux variables étaient indépendantes. Le test est intrinsèquement unilatéral dans la queue supérieure : seules les grandes valeurs de $\chi^2$ signalent une association, tandis que les petites signifient que le tableau est proche de l'indépendance. Comparez la valeur p à un seuil de signification $\alpha$ (couramment cinq pour cent). Lorsque $p < \alpha$, l'écart à l'indépendance est plus grand que le bruit d'échantillonnage ne l'explique aisément, et vous concluez que les variables sont associées. Lorsque $p \ge \alpha$, les données sont compatibles avec l'indépendance — ce qui n'équivaut pas à prouver que les variables sont sans lien.

Exemple résolu

Supposons qu'une clinique note si les patients ont guéri sous deux traitements :

Ici $a = 30$, $b = 10$, $c = 20$, $d = 40$ et $N = 100$. Avec le raccourci,

Avec un tableau 2×2 le test a un degré de liberté. La valeur p de la queue supérieure pour $\chi^2 \approx 16.667$ à un degré de liberté vaut environ $0.0000446$. Comme $p \lt 0.01$, il existe une preuve forte que la guérison est associée au traitement : les patients sous Traitement A ont guéri bien plus souvent que l'indépendance ne le prédirait.

Hypothèses

L'approximation du khi-deux repose sur quelques conditions. Les effectifs attendus doivent être raisonnablement grands — une règle empirique courante exige que chaque effectif attendu soit d'au moins 5. Pour un tableau 2×2 aux effectifs attendus faibles, appliquez la correction de continuité de Yates ou passez au test exact de Fisher. Les observations doivent être indépendantes, chaque sujet compté une fois et tombant dans exactement une cellule, si bien que le test ne s'applique pas aux mesures appariées ou répétées (utilisez le test de McNemar dans ce cas). Enfin, le test travaille sur des effectifs bruts, non sur des pourcentages ou des proportions : convertissez tout taux en effectifs avant de le saisir.

Pour comparer une variable catégorielle à une distribution hypothétique fixe plutôt que deux variables entre elles, voyez le Test du khi-deux d'ajustement ; pour convertir une statistique z en probabilité de queue, voyez Calculateur de p-valeur à partir du score z.