Calculatrice de moyenne harmonique

Résultats

Valeurs positives	2, 4, 8

Moyenne harmonique	3,4286
$\begin{aligned} H &= \dfrac{n}{\sum_{i} \frac{1}{x_i}} \\ &= \dfrac{3}{{\text{?}}} \\ &= 3,4286 \end{aligned}$
Moyenne géométrique	4
$\begin{aligned} G &= \left(\prod_{i} x_i\right)^{1/n} \\ &= 4 \end{aligned}$
Moyenne arithmétique	4,6667
$\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} x_i \\ &= 4,6667 \end{aligned}$
Effectif	3

Moyenne harmonique

3,4286

\begin{aligned} H &= \dfrac{n}{\sum_{i} \frac{1}{x_i}} \\ &= \dfrac{3}{{\text{?}}} \\ &= 3,4286 \end{aligned}

Moyenne géométrique

\begin{aligned} G &= \left(\prod_{i} x_i\right)^{1/n} \\ &= 4 \end{aligned}

Moyenne arithmétique

4,6667

\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} x_i \\ &= 4,6667 \end{aligned}

Effectif

Dernière mise à jour : 2026-07-01

La moyenne harmonique

La moyenne harmonique de n nombres positifs est l'effectif divisé par la somme des inverses des valeurs. Pour les valeurs x₁, x₂, …, xₙ, la moyenne harmonique H s'écrit :

H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)

De façon équivalente, c'est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses. Là où la moyenne arithmétique additionne directement les valeurs, la moyenne harmonique travaille dans l'espace des inverses — et c'est précisément pour cela qu'elle est la bonne moyenne pour les taux.

Quand utiliser la moyenne harmonique

La moyenne harmonique est la moyenne appropriée chaque fois que les données sont des taux ou des rapports comportant une quantité fixe au numérateur. Les applications les plus courantes sont :

Vitesse moyenne sur des distances égales. La vitesse est une distance par unité de temps. Lorsque les distances parcourues à chaque vitesse sont égales, la vitesse moyenne globale est la moyenne harmonique des vitesses individuelles, et non leur moyenne arithmétique.

Ratios cours/bénéfice et autres rapports financiers. Pour faire la moyenne de PER entre entreprises — ou pour en construire un indice — la moyenne harmonique évite la distorsion que quelques ratios très élevés introduiraient dans une moyenne arithmétique.

Taux et masses volumiques en physique et en ingénierie. Les résistances en parallèle, les taux de travail effectifs de tâches réalisées ensemble et les consommations (distance par unité de carburant) se combinent toutes par l'intermédiaire des inverses, ce qui fait de la moyenne harmonique le bon résumé.

Règle simple : si les données sont des taux exprimés en « quelque chose par unité » et que ce quelque chose est maintenu constant, la moyenne harmonique donne le véritable taux global.

Exemple résolu

Une camionnette de livraison parcourt un itinéraire fixe à 2 km/h, puis 4 km/h, puis 8 km/h sur trois tronçons de longueur égale. La vitesse moyenne de tout l'itinéraire est la moyenne harmonique des trois vitesses :

Somme des inverses : 1/2 + 1/4 + 1/8 = 0,875
Moyenne harmonique : 3 / 0,875 = 24/7 ≈ 3,43 km/h

Comparez-la à la moyenne arithmétique (2 + 4 + 8) / 3 ≈ 4,67 km/h. Le chiffre arithmétique est trop élevé parce que l'on passe plus de temps sur les tronçons lents ; la moyenne harmonique tient correctement compte de ce temps supplémentaire.

Pourquoi la vitesse moyenne est une moyenne harmonique

Considérons un aller-retour de distances égales à 60 km/h à l'aller et 40 km/h au retour. La distance totale est 2d et la durée totale d/60 + d/40. La vitesse moyenne est la distance totale divisée par la durée totale :

vitesse moyenne = 2d / (d/60 + d/40) = 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h

Les distances d s'annulent, laissant exactement la moyenne harmonique de 60 et 40. Cela fonctionne parce que les distances sont égales. Si au contraire les durées étaient égales — rouler à 60 km/h pendant une heure, puis à 40 km/h pendant une heure —, la moyenne arithmétique de 50 km/h serait correcte. La moyenne à choisir dépend entièrement de la grandeur maintenue constante.

L'inégalité MA–MG–MH

Pour toute liste de nombres positifs, les trois moyennes de Pythagore sont ordonnées :

moyenne arithmétique ≥ moyenne géométrique ≥ moyenne harmonique

L'égalité n'a lieu que lorsque toutes les valeurs sont identiques. Pour les valeurs 2, 4, 8, la moyenne arithmétique vaut environ 4,667, la géométrique 4 et l'harmonique environ 3,429 — une illustration claire de MA ≥ MG ≥ MH. Les écarts se creusent à mesure que les données se dispersent, de sorte que la distance entre les trois moyennes est elle-même une mesure approximative de la dispersion.

Cet ordre découle de la convexité des fonctions inverse et logarithme et constitue l'une des inégalités classiques des mathématiques.

Pourquoi toutes les valeurs doivent être positives

La moyenne harmonique est bâtie sur les inverses. Une valeur nulle n'a pas d'inverse, si bien que la formule n'est pas définie. Un mélange de valeurs positives et négatives peut faire presque s'annuler les inverses et entraîner la moyenne harmonique vers un nombre arbitrairement grand ou dénué de sens. Dans toute application réelle — vitesses, taux, prix, fréquences — les grandeurs sont intrinsèquement positives, de sorte qu'exiger des valeurs supérieures à zéro correspond à la pratique.

Lien avec les autres moyennes

La moyenne harmonique est l'une des trois moyennes de Pythagore :

Moyenne arithmétique (MA) : la moyenne ordinaire, adaptée aux grandeurs additives.
Moyenne géométrique (MG) : la racine n-ième du produit, adaptée aux grandeurs multiplicatives comme les facteurs de croissance.
Moyenne harmonique (MH) : l'inverse de la moyenne des inverses, adaptée aux taux et aux rapports.

Cette calculatrice calcule les trois afin que vous puissiez les comparer directement et confirmer l'ordre MA ≥ MG ≥ MH sur vos propres données.

Calculatrices associées

Calculateur de moyenne géométrique — racine n-ième du produit, pour des données multiplicatives
Calculatrice Moyenne, Médiane et Mode — moyenne arithmétique, médiane, mode et étendue
Calculatrice de Moyenne Pondérée — moyenne avec un poids par valeur
Calculateur de statistiques descriptives — statistiques descriptives complètes d'un jeu de données

Questions fréquentes (FAQ)

Quand faut-il utiliser la moyenne harmonique ?

Utilisez la moyenne harmonique pour moyenner des taux ou des rapports partageant un numérateur commun — des grandeurs exprimées en « quelque chose par unité », comme la vitesse (distance par heure), les ratios cours/bénéfice ou la masse volumique. Comme ces grandeurs sont définies par une quantité fixe divisée par une base variable, leur véritable moyenne s'obtient en moyennant les inverses, ce que fait précisément la moyenne harmonique.

Règle pratique : si les données sont des taux et que la grandeur maintenue constante figure au numérateur (les distances sont égales, les montants investis sont égaux), la moyenne harmonique donne le taux global correct. Pour des grandeurs additives comme les températures ou les notes, utilisez plutôt la moyenne arithmétique.

Pourquoi la vitesse moyenne est-elle une moyenne harmonique ?

Supposons un trajet parcourant la même distance à deux vitesses différentes — par exemple 60 km/h à l'aller et 40 km/h au retour. La moyenne arithmétique (50 km/h) est fausse, car on passe plus de temps à la vitesse la plus lente. La vitesse moyenne correcte pour l'ensemble du trajet est la moyenne harmonique des deux vitesses : 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h.

La moyenne harmonique s'applique ici parce que les distances sont égales tandis que les durées diffèrent. Si au contraire les durées étaient égales (rouler à 60 km/h pendant une heure, puis à 40 km/h pendant une heure), la moyenne arithmétique serait correcte. L'essentiel est d'adapter la bonne moyenne à ce qui est maintenu constant.

Pourquoi toutes les valeurs doivent-elles être positives ?

La moyenne harmonique repose sur les inverses : elle divise l'effectif par la somme des 1/x sur les valeurs. Si une valeur est nulle, son inverse n'est pas défini et la formule s'effondre. Si les valeurs peuvent être à la fois positives et négatives, les inverses peuvent se compenser et produire une somme proche de zéro, envoyant la moyenne harmonique vers une valeur arbitrairement grande ou dénuée de sens.

En pratique, la moyenne harmonique s'applique à des grandeurs intrinsèquement positives — vitesses, taux, prix et fréquences —, de sorte qu'exiger des valeurs supérieures à zéro correspond à tous les cas d'usage réels.

Comment les trois moyennes se comparent-elles ?

Pour toute liste de nombres positifs qui ne sont pas tous égaux, les trois moyennes de Pythagore sont strictement ordonnées : moyenne arithmétique ≥ moyenne géométrique ≥ moyenne harmonique. L'égalité n'a lieu que lorsque toutes les valeurs sont identiques.

Pour les valeurs 2, 4, 8, la moyenne arithmétique vaut environ 4,667, la moyenne géométrique 4 et la moyenne harmonique environ 3,429 — confirmant MA ≥ MG ≥ MH. Cette calculatrice affiche les trois afin que l'ordre soit visible d'un coup d'œil. Les écarts se creusent à mesure que les données se dispersent.

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