팩토리얼 계산기 – n!

최종 업데이트: 2026-05-22

팩토리얼의 정의

음이 아닌 정수 $n$의 팩토리얼(계승), $n!$은 1부터 $n$까지 모든 양의 정수의 곱입니다:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

알아두면 유용한 주요 값들:

n	n!
0	1 (정의에 의해)
1	1
5	120
10	3,628,800
20	2,432,902,008,176,640,000

0! = 1의 근거

$0! = 1$은 점화식 $n! = n \times (n-1)!$에서 자연스럽게 도출됩니다. $n = 1$을 대입하면 $1! = 1 \times 0!$이 되므로 $0! = 1$이어야 합니다. 개념적으로는 0개의 물건을 배열하는 방법이 정확히 한 가지(아무것도 하지 않는 것)임을 나타냅니다. 이 정의 덕분에 순열과 조합 공식이 경계값에서도 올바르게 작동합니다.

팩토리얼의 급성장

팩토리얼은 어떤 지수 함수보다도 빠르게 증가합니다. $n = 13$만 되어도 60억을 넘고($13! = 6{,}227{,}020{,}800$), $n = 20$에서는 19자리 수가 됩니다. 이 계산기의 상한이 $n = 20$인 이유입니다.

큰 $n$에 대한 근사값으로는 스털링 공식이 있습니다:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

팩토리얼이 등장하는 분야

배열 수 계산. $n$개의 서로 다른 물건을 한 줄로 나열하는 방법의 수는 정확히 $n!$입니다. 책 5권의 배열 순서는 $5! = 120$가지입니다.

순열과 조합. 두 공식 모두 팩토리얼로 표현됩니다:

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

확률론. 이항분포, 포아송 분포 등 이산 확률 계산에 팩토리얼이 사용됩니다.

미적분. 테일러 급수의 분모에 팩토리얼이 등장합니다. 지수 함수의 급수 전개는 $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$입니다.

사용 안내

정확한 정수 결과. $n \leq 20$ 범위에서 이 계산기는 반올림 없이 정확한 정수 값을 반환합니다.

순열과 조합. 순열 계산기 — P(n, r)은 $P(n, r)$을, 조합 계산기 — C(n, r)은 $C(n, r)$을 직접 계산합니다. 팩토리얼을 개별적으로 구할 필요가 없습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

팩토리얼(계승)이란 무엇인가요?

음이 아닌 정수 n의 팩토리얼(n!)은 1부터 n까지 모든 양의 정수의 곱입니다. 예를 들어, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120입니다. 관례적으로 0! = 1로 정의합니다. 팩토리얼은 매우 빠르게 증가하며, 20!은 이미 2.4 × 10¹⁸을 초과합니다.

0!이 왜 1인가요?

0! = 1은 점화식 n! = n × (n−1)!에서 자연스럽게 도출됩니다. n = 1을 대입하면 1! = 1 × 0!이 되므로 0! = 1이어야 합니다. 개념적으로는 0개의 물건을 배열하는 방법이 정확히 한 가지(아무것도 하지 않는 것)임을 나타냅니다. 이 정의 덕분에 순열과 조합 공식이 경계값에서도 올바르게 작동합니다.

팩토리얼은 어디에 사용되나요?

팩토리얼은 조합론(순열과 조합), 확률론(이항계수, 이항분포), 미적분학(테일러 급수: eˣ = Σ xⁿ/n!), 정수론 등 다양한 분야에 등장합니다. n개의 서로 다른 대상을 일렬로 배열하는 경우의 수가 바로 n!입니다.