絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）

最後更新：2026-05-19

什麼是絕對值方程式？

絕對值方程式 $|ax + b| = c$ 是求解使線性式 $ax + b$ 的值恰好落在數線上距離零 $c$ 個單位之位置的 $x$ 值，等價於同時考慮 $ax + b = c$ 與 $ax + b = -c$ 兩個分支。依照右側常數 $c$ 的正負，方程式可能有兩個解、唯一解或無實數解。

解題的關鍵在於： $|E| = c$ 等價於 $E = c$ 或 $E = -c$ ，因為這兩個值到零的距離相同。將 $E = ax + b$ 代入，可得兩個一次方程式：

ax + b = c \quad \text{與} \quad ax + b = -c

各自對 $x$ 求解（設 $a \neq 0$ ）：

x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}

當 $c$ 為正數時，上述兩個方程式給出兩個不同的 $x$ 值，兩者均滿足原方程式。

計算範例： 求解 $|2x - 3| = 7$。

確認係數：$a = 2$，$b = -3$，$c = 7$。

x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5

x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2

驗算： $|2 \times 5 - 3| = |7| = 7$ ✓ 且 $|2 \times (-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

當 $c = 0$ 時，兩個方程式合併為同一個：$ax + b = 0$。兩個公式給出相同結果：

x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}

範例： $|2x - 4| = 0 \Rightarrow x = 4 / 2 = 2$ 。

絕對值恆大於等於零：對所有實數 $x$ ，都有 $|ax + b| \geq 0$ 。若 $c < 0$，要求一個非負的量等於負數，這在實數範圍內不可能發生。

範例： $|2x - 3| = -5$ 無實數解。

在數線上， $|u|$ 是點 $u$ 到原點的距離。令 $u = ax + b$ ：

|ax + b| = c

等價於問：「哪些 $x$ 能讓線性函數 $ax + b$ 的輸出值恰好落在距離零 $c$ 個單位的地方？」距離具有對稱性，因此落點恰好是 $+c$ 和 $-c$ 兩處，對應最多兩個 $x$ 值。

這也直觀地解釋了為何 $c < 0$ 無解：距離永遠不為負，數線上不存在這樣的落點。

當 $a = 0$，方程式變為 $|b| = c$ ，與 $x$ 無關，已不是關於 $x$ 的方程式。計算機將 $a = 0$ 視為無效輸入並顯示錯誤提示。

絕對值方程式為什麼會有兩個解？

|ax + b| = c 意味著絕對值符號內的式子等於 c 或 −c，因為這兩個值距離零的距離相同。由此拆成兩個一次方程式：ax + b = c 與 ax + b = −c，各自求解後得到兩個 x 值。當 c > 0 時，兩式給出不同的解；當 c = 0 時，兩式合而為一，只有一個解。

c 為負數時絕對值方程式有解嗎？

絕對值恆大於等於零，因此 |ax + b| 的結果不可能為負數。當 c < 0 時，方程式 |ax + b| = c 無實數解——不存在任何 x 使非負的量等於負數。

|x| 的幾何意義是什麼？

在數線上，|x| 表示點 x 到原點的距離。推廣之，|ax + b| 表示 ax + b 這個值到零的距離。求解 |ax + b| = c，等於問「哪些 x 能讓 ax + b 落在距離零恰好 c 個單位的地方？」答案是 c 與 −c 兩個位置，因此最多產生兩個 x 值。

絕對值方程式和絕對值不等式有什麼不同？

絕對值方程式（|ax + b| = c）求的是使式子恰好等於 c 的特定 x 值，解的個數有限（最多兩個）。絕對值不等式（|ax + b| < c 或 |ax + b| > c）求的則是一個範圍：所有使式子小於或大於 c 的 x 值，解為一段區間或兩段射線的聯集。方程式是不等式對應的邊界情況。