圓弧長計算機

最後更新：2026-05-19

弧長

弧長是沿著圓弧測量的兩點之間距離，由半徑 r 和圓心角 θ 決定。弧長在幾何學、工程設計、建築及高中數學課程中經常出現。

本計算機由 r 和 θ 求得三個相關值：

• 弧長 s — 沿圓弧的曲線距離
• 弦長 c — 兩端點之間的直線距離
• 佔圓周比例 f — 弧占整個圓周的比例

弧長公式

$s = r \cdot \theta$

θ 必須以弧度表示。此公式直接來自弧度的定義：1 弧度是截出與半徑等長弧段的圓心角。

公式推導

完整圓周為 2πr（θ = 2π 弧度時）。θ/(2π) 部分對應的弧長為：

$s = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

輸出的「佔圓周比例」f = θ/(2π) 即由此得出。

使用度數計算

若角度以度數給定，需先換算成弧度：

$\theta_{\text{弧度}} = \theta_{\text{度}} \times \frac{\pi}{180}$

也可直接使用：

$s = 2\pi r \times \frac{\theta_{\text{度}}}{360}$

範例：r = 8 公尺，θ = 135°

• 換算：135° × π/180 = 3π/4 ≈ 2.356 弧度
• 弧長：s = 8 × 2.356 ≈ 18.85 公尺
• 佔圓周比例：135/360 = 0.375（圓的 3/8）

本計算機可直接輸入度數，無需手動換算。

弦長

弦是連接弧的兩個端點的直線，長度永遠不大於弧長：

$c = 2r \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$

計算範例：r = 10 公尺，θ = 90°（π/2 弧度）

量	算式	數值
弧長 s	10 × π/2	≈ 15.71 公尺
弦長 c	2 × 10 × sin 45°	= $10\sqrt{2} \approx$ 14.14 公尺
比例 f	90 / 360	= 0.25

此例中弧長比弦長約長 11%。

特殊角度

圓心角	弧長	弦長	特點
60°	πr/3	r	弦長等於半徑（正三角形性質）
90°	πr/2	$r\sqrt{2}$	四分之一圓
180°	πr	2r	弦長等於直徑
360°	2πr	0	完整圓周；兩端點重合

常見問題（FAQ）

弧長公式是什麼？

弧長 s = r × θ，其中 θ 為弧度制的圓心角。例如半徑 5 公尺、圓心角 2 弧度，則 s = 10 公尺。此公式直接來自弧度的定義：1 弧度是能截出與半徑等長弧段的圓心角。若角度以度數給定，先換算：θ（弧度）= θ（度）× π / 180。

怎麼用度數計算弧長？

使用公式 s = 2πr × (θ° / 360)，或先將角度換算成弧度再代入。範例：半徑 10 公尺、圓心角 90° → s = 2π × 10 × 0.25 = 5π ≈ 15.71 公尺。本計算機可直接輸入度數，無需手動換算。

弧長和弦長有什麼不同？

弧長 s = rθ 是沿圓弧量取的曲線距離；弦長 c = 2r sin(θ/2) 是連接兩端點的直線距離。弦長永遠不大於弧長。以半徑 10 公尺、圓心角 90° 為例：弧長 ≈ 15.71 公尺，弦長 = 10√2 ≈ 14.14 公尺。當圓心角為 180° 時，弦長等於直徑 2r。

弧長和圓周長有什麼關係？

圓周長 C = 2πr 是圓心角等於 360°（2π 弧度）時的弧長。任何弧均可表示為圓周的一部分：s = C × (θ / 2π)。輸出的「佔圓周比例」f = θ / 2π 直接顯示此分數——f = 0.25 表示該弧佔圓周的四分之一。