三次方程式求解器

最後更新：2026-05-26

什麼是三次方程式？

三次方程式是最高次為三次的多項式方程式：

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0)$$

係數為實數的三次方程式，其根的結構只有兩種可能：三個實根（計重數）或一個實根加兩個複共軛根。由於連續函數從 $-\infty$ 延伸至 $+\infty$，圖形必然至少穿越 $x$ 軸一次，因此不存在「零個實根」的情況。

降次代換

求解三次方程式的標準做法，是先消去 $x^2$ 項。令 $x = t - \tfrac{b}{3a}$，方程式化為降次三次式：

$$t^3 + pt + q = 0$$

其中 $p$ 和 $q$ 僅由 $a$、$b$、$c$、$d$ 決定：

$$p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \qquad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}$$

求出降次三次式的根 $t_1, t_2, t_3$ 後，再以 $x_k = t_k - \tfrac{b}{3a}$ 還原原始方程式的根。

判別式

決定根的類型的關鍵量是判別式：

$$\Delta = -4p^3 - 27q^2$$

• $\Delta > 0$：三個相異實根——使用三角法。
• $\Delta = 0$：有重根（全為實根）——三角法仍適用，可正確求出重根。
• $\Delta < 0$：一個實根加兩個複共軛根——使用卡爾達諾公式。

卡爾達諾公式（$\Delta < 0$）

當 $\Delta < 0$ 時，$C = \tfrac{q^2}{4} + \tfrac{p^3}{27} > 0$，立方根為實數：

$$u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{C}}, \qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{C}}$$

降次三次式 $t^3 + pt + q = 0$ 的三個根為：

$$t_1 = u + v, \qquad t_{2,3} = -\frac{u+v}{2} \pm \frac{(u-v)\sqrt{3}}{2}\,i$$

實根為 $x_1 = t_1 - \tfrac{b}{3a}$；複共軛根為 $\alpha \pm \beta i$，其中 $\alpha = -\tfrac{u+v}{2} - \tfrac{b}{3a}$，$\beta = \tfrac{(u-v)\sqrt{3}}{2}$。

計算範例： 求解 $x^3 + x - 2 = 0$。

$a = 1$，$b = 0$，$c = 1$，$d = -2$，得 $p = 1$，$q = -2$，$\Delta = -112 < 0$。

$$C = \frac{(-2)^2}{4} + \frac{1^3}{27} = 1 + \frac{1}{27} = \frac{28}{27}$$ $$u = \sqrt[3]{1 + \sqrt{\tfrac{28}{27}}} \approx 1.2638, \qquad v = \sqrt[3]{1 - \sqrt{\tfrac{28}{27}}} \approx -0.2638$$ $$x_1 = u + v = 1.000, \qquad x_{2,3} = -0.500 \pm \tfrac{\sqrt{7}}{2}\,i \approx -0.500 \pm 1.323\,i$$

驗算：$(x-1)(x^2+x+2) = x^3+x-2$ ✓。

三角法（$\Delta \geq 0$）

當 $\Delta \geq 0$ 時，$C \leq 0$，若直接套用卡爾達諾公式，$\sqrt{C}$ 為虛數——即使三個根全為實數，推導過程仍不可避免地途經複數。此即所謂的不可約情形（casus irreducibilis）。三角法完全迴避此困境。

令 $r = \sqrt{-p/3}$（因 $\Delta \geq 0$ 蘊含 $p \leq 0$，故 $r$ 為實數），$\theta = \tfrac{1}{3}\arccos\!\left(\tfrac{-q}{2r^3}\right)$，三個根為：

$$t_k = 2r\cos\!\left(\theta - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2$$

等角間距 $\tfrac{2\pi}{3}$ 源自三次單位根的幾何性質。

計算範例： 求解 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$。

$a = 1$，$b = -6$，$c = 11$，$d = -6$。降次三次式有 $p = -1$，$q = 0$，$\Delta = 4 > 0$。

$$r = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad \theta = \frac{1}{3}\arccos(0) = \frac{\pi}{6}$$ $$t_0 = \frac{2}{\sqrt{3}}\cos\frac{\pi}{6} = 1, \quad t_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad t_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}\cos\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -1$$

還原位移 $h = -6/3 = -2$：$x = t - h = t + 2$，得根 $x_1 = 3$，$x_2 = 2$，$x_3 = 1$。

驗算：$(x-1)(x-2)(x-3) = x^3-6x^2+11x-6$ ✓。

歷史背景

三次方程式的公式由西皮奧內·德爾·費羅（Scipione del Ferro）約於 1515 年發現，後由吉羅拉莫·卡爾達諾（Gerolamo Cardano）在 1545 年的著作《大術》（Ars Magna）中公開發表，成為繼二次公式之後代數學的重大突破。卡爾達諾向尼科洛·塔爾塔利亞（Niccolò Tartaglia）秘密取得公式，隨後違誓出版，引發了一場曠日持久的學術爭議。

同世紀發現的不可約情形迫使數學家認真對待複數：即使最終答案是實數，沿卡爾達諾路徑推導仍需通過複數運算。拉斐爾·邦貝利（Rafael Bombelli，1572）是第一位系統性處理複數中間值，並驗證它們最終消去、得出正確實根的數學家。

三次方程式的應用場景

工程 — 挫曲載荷、振動頻率與撓曲曲線的特徵方程式常為三次式；控制系統的極點則是複頻域變數 $s$ 的三次（或四次）多項式之根。

電腦繪圖 — 三次貝茲曲線（Cubic Bézier curve）以 $t \in [0,1]$ 的三次式參數化；求曲線與給定 $y$ 值的交點，需要求解一個三次方程式。

流體力學 — 凡德瓦耳斯狀態方程式對莫耳體積 $V_m$ 為三次式：$(P + a/V_m^2)(V_m - b) = RT$。在臨界溫度以下，三個根分別對應液相、旋節線與氣相。

金融 — 部分奇異選擇權定價模型與三期現金流的內部報酬率計算，會產生三次方程式。

常見問題（FAQ）

三次方程式的公式為何比二次方程式複雜得多？

二次公式只需兩步：計算判別式，再開一次平方根。三次方程式則需先消去 x² 項（化為降次三次式），再依情況選用三角法（三個實根）或卡爾達諾的立方根公式（一個實根、兩個複數根）。每條路徑都需要更多代數推導，也沒有拋物線那種對稱軸的簡潔結構。更重要的是，阿貝爾不可能定理證明了五次及以上的方程式不存在只用四則運算與開根號的通解公式。

什麼是不可約情形（casus irreducibilis）？

不可約情形是指三次方程式有三個相異實根，卡爾達諾公式卻不可避免地途經複數才能得到實數答案的情況。當 Δ > 0 時，立方根內的表達式為負，直接套用卡爾達諾公式會出現複數的立方根。三角法則完全迴避此問題，直接以餘弦函數表示根——全程不涉及複數，運算始終在實數範圍內進行。本計算機在 Δ ≥ 0 時一律使用三角法。

每個三次方程式都一定有實根嗎？

是的。奇數次、係數為實數的多項式至少有一個實根，因為其圖形必然穿越 x 軸。當 x → +∞ 時（a > 0），函數趨向 +∞；x → −∞ 時趨向 −∞，由介值定理可知圖形至少穿越零點一次。三次方程式的實根個數為一個（Δ < 0）或三個（Δ ≥ 0），不存在零個實根的情況。

數值結果的精度如何？

計算機採用 12 位十進位精確算術（mathjs BigNumber 引擎），根的顯示精度為六位有效數字。對於條件良好的輸入——係數數量級相近——相對誤差通常低於 10⁻⁸。若兩根非常接近（Δ ≈ 0）或係數跨越多個數量級，b³ − 9abc 相消時可能損失有效位數，精度會有所下降。重根情形（Δ ≈ 0）採用三角法處理，可正確應對邊界狀況。