多項式導數計算機

最後更新：2026-05-26

多項式導數

多項式的導數是描述函數在某一點的瞬時變化率的函數。對多項式 P(x) 而言，其導函數 P′(x) 在幾何上等同於曲線在該點的切線斜率，表示函數在該點的瞬時增減速率。

本計算機接受多項式係數（由最高次到常數項）與求值點 x，輸出 P(x)、P′(x)、導函數係數，以及通過切點的切線方程式，並附上曲線與切線的圖形。

範圍限制： 僅支援多項式輸入，不支援三角函數、指數、對數等超越函數的符號微分。

冪次法則

對任意一項 aₙxⁿ，其導數由冪次法則給出：

$\frac{d}{dx}[a_n x^n] = n \cdot a_n x^{n-1}$

對整個多項式逐項套用此法則：

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

$P'(x) = n\,a_n\, x^{n-1} + (n-1)\,a_{n-1}\, x^{n-2} + \cdots + a_1$

常數項的導數為零，因此從導函數中消失；導函數的次數恰好比原多項式少一次。

逐步例題

以 P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5（係數輸入：1, -3, 2, 5）、求值點 x = 2 為例。

第一步——用 Horner 法計算 P(2)：

$P(2) = ((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 5 = 5$

第二步——套用冪次法則求 P′(x)：

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

第三步——代入 x = 2 求 P′(2)：

$P'(2) = 3(4) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

第四步——寫出切線方程式：

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x-2) + 5 = 2x + 1$

切線在點 (2, 5) 處與曲線相切，斜率為 2。

導數的幾何意義

P′(x₀) 是多項式在 x₀ 處的瞬時變化率，也是曲線在該點的切線斜率。從極限定義來看，這等同於割線斜率當區間趨近於零時的極限值：

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

切線是曲線在 x₀ 附近的最佳線性近似。偏離 x₀ 的幅度越小，切線與曲線之間的誤差越接近 (Δx)² 的量級，這正是微積分線性化方法的理論基礎。

平均變化率（割線斜率）是切線斜率（導數）的有限差分版本：對照參見 平均變化率計算機。

係數輸入方式

缺項的次數必須填入係數 0。例如 x⁴ − 1 中，x³、x²、x¹ 的係數均為零，所以輸入 1, 0, 0, 0, -1。

導函數係數的應用

計算機同時輸出 P′(x) 的係數（由高次到低次）。以 P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 為例：

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{係數：} 3, -6, 2$

這組係數可以直接貼回輸入欄，再次求導即可得到二階導數 P″(x)。也可以將其輸入 二次方程式求解器 求解 P′(x) = 0，從而找出 P(x) 的極值點（臨界點）。