橢圓面積與周長計算機

最後更新：2026-05-18

橢圓的定義

橢圓是由兩個定點（稱為焦點）所決定的封閉曲線：橢圓上任一點到兩焦點的距離之和是固定常數。當兩個焦點重合時，橢圓就變成圓形——因此圓是橢圓的特殊情況。

每個橢圓有兩條對稱軸：

• 長軸：通過兩焦點的最長直徑，其一半為半長軸 a。
• 短軸：與長軸垂直的最短直徑，其一半為半短軸 b。

依慣例 a ≥ b > 0。

面積公式

橢圓的面積為：

A = π × a × b

這個精確公式最早由阿基米德在《圓的測量》中，以窮竭法（積分的前身）加以證明。當 a = b = r 時，即為圓面積公式 πr²。

範例：a = 6 公分、b = 4 公分的橢圓面積：

A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75.40 平方公分

周長（近似值）

與面積不同，橢圓的周長沒有簡單的封閉形式公式。精確值需透過橢圓積分計算，無法用初等函數表示。

本計算機採用拉馬努金第一近似公式（1914 年）：

$P \approx \pi \times [3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}]$

當 a = b = r（圓形）時：

$P = \pi \times [6r - 4r] = 2\pi r$（完全精確）

對離心率小於 0.9 的典型橢圓，誤差小於 0.0001%。

計算範例

a = 6 公分、b = 4 公分的橢圓周長：

$P \approx \pi \times [3(6 + 4) - \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{22 \times 18}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{396}]$

= π × [30 − 19.90...]
≈ π × 10.10
≈ 31.73 公分

離心率

離心率 e 衡量橢圓偏離圓形的程度：

$e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$

形狀	離心率
圓形	e = 0
略呈橢圓	e ≈ 0.1–0.3
中度細長	e ≈ 0.5–0.7
極度細長	e → 1

橢圓的離心率始終介於 0（含）與 1（不含）之間。

應用範例

行星軌道是以太陽為一個焦點的橢圓（克卜勒第一定律）：

天體	半長軸	離心率
地球軌道	1 億 4960 萬公里	≈ 0.017
火星軌道	2 億 2790 萬公里	≈ 0.093
哈雷彗星	26 億 6790 萬公里	≈ 0.967

地球軌道近乎圓形（e ≈ 0.017），因此四季的成因是地軸傾斜，而非與太陽距離的變化。

常見問題（FAQ）

橢圓面積公式是什麼？

橢圓面積公式為 A = π × a × b，其中 a 為半長軸、b 為半短軸。此精確公式最早由阿基米德推導出來。以 a = 6 公分、b = 4 公分為例：A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75.40 平方公分。當 a = b = r 時，即為圓面積公式 πr²。

橢圓的周長有精確公式嗎？

橢圓周長沒有簡單的封閉形式公式，精確值需用橢圓積分計算。實際應用中普遍採用拉馬努金第一近似公式：P ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]。當 a = b（圓形）時，結果恰好等於 2πr；對離心率小於 0.9 的典型橢圓，誤差均小於 0.0001%。

離心率代表什麼意義？

離心率 e = √(1 − (b/a)²) 衡量橢圓偏離圓形的程度。e = 0 為正圓；e 越接近 1，橢圓越細長。地球公轉軌道的離心率 e ≈ 0.017（近似圓形），哈雷彗星的 e ≈ 0.967（非常細長）。

橢圓與卵形有什麼不同？

橢圓是精確的數學曲線：曲線上任意一點到兩個焦點的距離之和為常數。「卵形」（oval）則是泛指任何平滑、封閉、圓潤曲線的非正式用語。雞蛋是卵形但不是橢圓，因為它兩端不對稱。所有橢圓都是卵形，但並非所有卵形都是橢圓。