等邊三角形計算機

最後更新：2026-05-18

等邊三角形

等邊三角形的三條邊等長，三個內角均為 60°。其高度的對稱性使其成為最簡單的非平凡多邊形：只要知道一條邊的長度，所有其他幾何量均可由此確定。

高

從任一頂點向對邊作垂線，對邊恰好被平分，形成兩個全等的 30-60-90 三角形，其斜邊為 $a$，短直角邊為 $\tfrac{a}{2}$。由畢氏定理：

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

當 $a = 6$ 時：$h = 3\sqrt{3} \approx 5.196$

面積

由標準公式 $S = \tfrac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$：

$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

當 $a = 6$ 時：$S = 9\sqrt{3} \approx 15.588$

外接圓半徑與內切圓半徑

外接圓半徑 $R$（通過三個頂點的圓的半徑）：

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

內切圓半徑 $r$（與三條邊皆相切的內切圓的半徑）：

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$

等邊三角形中有一恆等式：$R = 2r$。其外心、內心、重心與垂心全部重合於同一點（即對稱中心）。

邊 $a$	高 $h$	面積 $S$	$R$	$r$
1	0.866	0.433	0.577	0.289
6	5.196	15.588	3.464	1.732
10	8.660	43.301	5.774	2.887

與 30-60-90 三角形的關聯

每個等邊三角形都可以用三條中線分割成六個全等的 30-60-90 三角形。30-60-90 三角形的三邊比為 $1 : \sqrt{3} : 2$，這就是為什麼等邊三角形的所有公式都會出現 $\sqrt{3}$。

R = 2r 的證明

將重心（同時也是外心和內心）置於原點。每條中線的長度為 $h = a\sqrt{3}/2$，重心將每條中線從頂點起以 $2:1$ 的比例分割：

• 重心到頂點的距離：$\tfrac{2}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{3} = R$ ✓
• 重心到邊中點的距離：$\tfrac{1}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{6} = r$ ✓
• 因此 $R = 2r$ ✓

常見問題（FAQ）

等邊三角形的面積公式是什麼？

邊長為 a 的等邊三角形面積為 S = (√3 ÷ 4) × a²。例如 a = 6 時，S = (√3 ÷ 4) × 36 = 9√3 ≈ 15.588。此公式源自底 × 高 ÷ 2，代入高 h = a√3 ÷ 2 即可推導。

如何求等邊三角形的高？

從任一頂點向對邊作垂線，對邊恰好被平分，形成兩個全等的 30-60-90 三角形，斜邊為 a，短直角邊為 a/2。由畢氏定理可得：h² = a² − (a/2)² = 3a²/4，因此 h = a√3 ÷ 2。當 a = 6 時，h = 3√3 ≈ 5.196。

等邊三角形的外接圓半徑如何計算？

外接圓半徑 R（通過三個頂點的圓的半徑）為 R = a√3 ÷ 3 = a ÷ √3。當 a = 6 時，R = 6 ÷ √3 = 2√3 ≈ 3.464。可由廣義正弦定理推導：R = a ÷ (2 sin 60°) = a ÷ √3。

為什麼等邊三角形的外接圓半徑是內切圓半徑的兩倍？

等邊三角形中，R = a√3 ÷ 3，r = a√3 ÷ 6，因此 R = 2r 恰好成立。從幾何角度看，外心、內心、重心與垂心都在同一點。重心將每條中線從頂點起以 2:1 的比例分割，使其距頂點為 R，距邊中點為 r。