等腰三角形計算機

最後更新：2026-05-18

等腰三角形

等腰三角形有兩條等長的邊，稱為腰（各長 $a$），以及第三條邊，稱為底邊（長 $b$）。底邊兩端的角稱為底角 $\beta$，兩個底角相等；兩腰之間的角稱為頂角 $\theta$。這種對稱性使得只需兩個獨立數值就能完整決定整個三角形。

兩種輸入模式

模式一 — 腰與底邊： 已知 $a$ 和 $b$。
模式二 — 腰與頂角： 已知 $a$ 和 $\theta$。

兩種模式均可計算高、面積、周長、外接圓半徑和內切圓半徑。

模式一：由腰與底邊求解

從頂點向底邊作垂線，由對稱性可知垂足恰在底邊中點，將三角形分成兩個全等的直角三角形，斜邊為 $a$、直角邊為 $b/2$。

高： $h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

面積： $S = \frac{b \cdot h}{2}$

底角： 在直角三角形中 $\cos\beta = \tfrac{b/2}{a} = \tfrac{b}{2a}$，因此： $\beta = \arccos\!\frac{b}{2a}$

頂角： $\theta = 180° - 2\beta$

計算範例 — $a = 5$，$b = 6$：

$h = \sqrt{25 - 9} = 4, \quad S = \frac{6 \times 4}{2} = 12$

$\beta = \arccos(0.6) \approx 53.13°, \quad \theta = 180° - 106.26° = 73.74°$

模式二：由腰與頂角求解

已知 $a$ 和 $\theta$，將頂角平分，每側各為 $\theta/2$。

底邊： $b = 2a\sin\!\frac{\theta}{2}$

高： $h = a\cos\!\frac{\theta}{2}$

面積（兩邊夾角公式）： $S = \frac{1}{2}\,a^2\sin\theta$

外接圓與內切圓半徑

外接圓半徑： $R = \frac{a^2 b}{4S}$

內切圓半徑（$s = (2a + b)/2$ 為半周長）： $r = \frac{S}{s}$

特殊情形

形狀	頂角 θ	說明
正三角形	60°	三邊全等
等腰直角三角形	90°	底邊 $= a\sqrt{2}$

當 $a = b$ 時為正三角形。若 $b \geq 2a$，則不滿足三角不等式，無法構成三角形。

常見問題（FAQ）

如何求等腰三角形的高？

從頂點向底邊作垂線，由對稱性可知垂足恰在底邊中點，將三角形分成兩個全等的直角三角形，斜邊為 a、直角邊為 b/2。由畢氏定理得 h² = a² − (b/2)²，即 h = √(a² − b²/4)。範例：a = 5、b = 6 時，h = √(25 − 9) = √16 = 4。

已知兩邊如何計算等腰三角形的面積？

先求高 h = √(a² − b²/4)，面積為 S = b × h ÷ 2 = (b ÷ 2) × √(a² − b²/4)。以 a = 5、b = 6 為例：h = 4，S = 6 × 4 ÷ 2 = 12。若已知頂角 θ，也可用兩邊夾角公式 S = ½ × a² × sin θ 直接計算。

如何從等腰三角形的邊長求各角度？

底角 β 滿足 cos β = (b ÷ 2) ÷ a = b ÷ (2a)，故 β = arccos(b ÷ (2a))。頂角為 θ = 180° − 2β。範例：a = 5、b = 6 時，β = arccos(0.6) ≈ 53.13°，θ = 180° − 106.26° = 73.74°。

等腰三角形和等邊三角形有什麼不同？

等腰三角形至少有兩邊相等；等邊三角形三邊全等。所有等邊三角形都是等腰三角形，但反之不成立。等邊三角形是等腰三角形的特例，其頂角恰好為 60°，底邊等於腰長。