正弦定理計算機 — AAS 三角形求解

最後更新：2026-05-19

本計算機的功能

正弦定理將三角形的每條邊與其對角的正弦值相連結。輸入兩個角度及其中一個角的對邊（AAS 配置），本計算機即可求出第三個角度、兩條未知邊、面積及外接圓半徑。

正弦定理

對於邊長為 $a$、$b$、$c$，對角為 $A$、$B$、$C$ 的任意三角形：

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

此共同比值等於外接圓的直徑。

AAS 三角形逐步求解

已知： 角 $A$、邊 $a$（$A$ 的對邊）、角 $B$

步驟一：求第三個角

$C = 180° - A - B$

步驟二：求未知邊

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

步驟三：求面積

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

步驟四：求外接圓半徑

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

計算範例

輸入： $A = 30°$、$a = 10$、$B = 45°$

$C = 180° - 30° - 45° = 105°$

$b = \frac{10 \sin 45°}{\sin 30°} = 10\sqrt{2} \approx 14.142$

$c = \frac{10 \sin 105°}{\sin 30°} \approx 19.319$

$S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 14.142 \times \sin 105° \approx 68.30$

$R = \frac{10}{2 \sin 30°} = 10$

驗算：$b / \sin B = 14.142 / \sin 45° = 20 = 2R$，正弦定理成立。

公式的由來：從外接圓推導

畫出外接圓（半徑 $R$），從頂點 $A$ 延伸一條直徑至圓上的點 $D$。由泰勒斯定理，$\angle ABD = 90°$，故 $\sin(\angle ADB) = a/(2R)$。圓周角定理給出 $\angle ADB = A$，因此：

$\sin A = \frac{a}{2R} \implies \frac{a}{\sin A} = 2R$

正弦定理與餘弦定理的選用

已知資訊	使用定理
兩個角度 + 任意一邊（AAS 或 ASA）	正弦定理
兩邊 + 夾角（SAS）	餘弦定理
三邊（SSS）	餘弦定理
兩邊 + 非夾角（SSA）	正弦定理（注意二解問題）

二解問題（模糊情況）

二解問題只在 SSA 配置中出現。本計算機使用 AAS，第三角由 $C = 180° − A − B$ 唯一決定，不存在二解問題。

常見問題（FAQ）

正弦定理與餘弦定理應如何選擇？

當已知一個角度及其對邊時（AAS 或 ASA 配置），使用正弦定理。當已知兩邊及其夾角（SAS）或三邊（SSS）時，使用餘弦定理。判斷原則：若已知角度正對著已知邊，就用正弦定理；若已知角度夾在兩已知邊之間，就用餘弦定理。

正弦定理的「二解問題（模糊情況）」是指什麼？

二解問題出現在 SSA 配置（兩邊加非夾角）中。若邊 a 小於高度 h = b sin A，則三角形不存在；若 h < a < b，則有兩個三角形滿足條件。本計算機採用 AAS 配置，第三角由 C = 180° − A − B 唯一決定，因此不會出現二解問題。

正弦定理與外接圓半徑之間有何關係？

正弦定理的擴展形式為 a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R，共同比值等於外接圓的直徑。因此可直接求得 R = a / (2 sin A)。對於直角三角形（C = 90°），R = c/2，即外接圓半徑等於斜邊的一半。

AAS 與 ASA 有何差異？

ASA（角-邊-角）指已知邊夾在兩個已知角之間；AAS（角-角-邊）指已知邊是其中一個角的對邊。兩種配置都能唯一確定三角形，解法完全相同：先用 C = 180° − A − B 求第三角，再應用正弦定理求其餘邊長。