兩點求直線方程式

最後更新：2026-05-19

直線方程式

座標平面上的直線，由其上任意兩點完全確定。給定 P₁ = (x₁, y₁) 與 P₂ = (x₂, y₂)，可求出唯一的斜率，並以三種標準形式表示直線方程式；每種形式各有適用情境。

三種標準形式

斜截式：y = mx + b

最常用的形式。m 是斜率（y 的變化量除以 x 的變化量），b 是 y 截距（直線與 y 軸的交點）。

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$b = y_1 - m \cdot x_1$

適用情境： 畫圖（從 (0, b) 出發，每向右移動一單位就向上移動 m 單位）；一眼看出斜率和截距。

點斜式：y − y₁ = m(x − x₁)

直接代入已知點的座標和斜率，不需要先求 b。

適用情境： 已知一個點和斜率時；作為推導其他形式的中間步驟。

一般式：Ax + By = C

所有項都在同一側，若座標為整數則係數也為整數。慣例：A ≥ 0。

適用情境： 解聯立方程組（可直接相加或相減）；同時求兩軸的截距。

計算範例

以 P₁ = (1, 2)、P₂ = (4, 11) 為例：

斜率：

$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$

y 截距：

$b = 2 - 3 \times 1 = -1$

三種標準形式：

$y = 3x - 1 \quad \text{（斜截式）}$

$y - 2 = 3(x - 1) \quad \text{（點斜式）}$

$3x - y = 1 \quad \text{（一般式）}$

可驗證：將 P₂ 代入斜截式，得 3 × 4 − 1 = 11，與 y₂ = 11 吻合。

特殊情況

垂直線

當 x₁ = x₂ 時，兩點在同一條垂直線上。由於分母 x₂ − x₁ = 0 會造成除以零，斜率無法定義。方程式為 x = x₁。

水平線

當 y₁ = y₂ 時，直線是水平的。斜率為 0，y 截距為 y₁，三種形式都化簡為 y = y₁。

各形式之間的轉換

起始形式	目標形式	步驟
點斜式	斜截式	展開括號，整理 y
斜截式	一般式	將 mx 移至左側；若 A < 0 則全式乘以 −1
一般式	斜截式	求解 y：y = (C − Ax) / B

一般式的整係數化

當斜率為 m = p/q（最簡分數，p 與 q 互質）時，將 y = mx + b 各項乘以 q：

$qy = px + qb \implies px - qy = -qb$

此時 A = p、B = −q、C = −qb 均為整數。輸入座標為整數時，此計算機會自動完成這個步驟。

常見問題（FAQ）

直線方程式的三種形式，各自適合什麼情況？

斜截式（y = mx + b）可以直接看出斜率和 y 截距，從 (0, b) 出發向右移動時容易作圖。點斜式（y − y₁ = m(x − x₁)）適合已知一個點和斜率，不需要先求 b 就能直接列式。一般式（Ax + By = C）適合解聯立方程組，以及同時求 x 截距和 y 截距（分別令另一變數為 0）。

三種形式之間要如何互換？

點斜式 → 斜截式：展開右邊並整理 y：y − y₁ = m(x − x₁) → y = mx + b，其中 b = y₁ − mx₁。斜截式 → 一般式：將 mx 移到左邊，若 A < 0 則全式乘以 −1：y = mx + b → mx − y = −b。一般式 → 斜截式：對 y 求解：y = (C − Ax) / B。

兩點的 x 座標相同時，直線是什麼形狀？

若 x₁ = x₂，兩點在同一條垂直線上。由於分母 x₂ − x₁ = 0，斜率無法定義（除以零）。此時方程式為 x = x₁。若 x₁ = 0，則該直線就是 y 軸本身。

如何讓一般式的係數都是整數？

若斜率 m = p/q（最簡分數，p 和 q 互質），將 y = mx + b 兩邊乘以 q：qy = px + qb，整理得 px − qy = −qb。係數 A = p、B = −q、C = −qb 均為整數。當輸入座標為整數時，此計算機會自動套用此步驟。