直角三角形計算機

最後更新：2026-05-19

直角三角形計算機的用途

直角三角形有一個 90° 的內角。只要知道任意兩個量（兩邊、一邊加一角，或斜邊加一角），就能用畢氏定理和三角函數推算出所有其他測量值。本計算機提供四種解法模式，同時輸出面積和周長。

四種解法模式

模式	已知值	計算結果
兩直角邊	直角邊 a、b	斜邊 c、角度 A 和 B、面積、周長
直角邊 + 斜邊	直角邊 a、斜邊 c	直角邊 b、角度 A 和 B、面積、周長
直角邊 + 角度	直角邊 a、角度 A	直角邊 b、斜邊 c、角度 B、面積、周長
斜邊 + 角度	斜邊 c、角度 A	直角邊 a 和 b、角度 B、面積、周長

畢氏定理

直角三角形的基礎公式：

a² + b² = c²

其中 a、b 為直角邊，c 為斜邊（直角對面的最長邊）。已知兩直角邊時：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$；已知斜邊和一直角邊時：$a = \sqrt{c^2 - b^2}$。

計算範例： 一條坡道水平延伸 3.5 m、垂直上升 1.2 m，坡道長度為 $\sqrt{1.2^2 + 3.5^2} = \sqrt{13.69} \approx 3.70$ m。

正弦、餘弦、正切（sin / cos / tan）

三個三角比將角度與邊長比值連結起來：

• sin A = 對邊 / 斜邊 = a / c
• cos A = 鄰邊 / 斜邊 = b / c
• tan A = 對邊 / 鄰邊 = a / b

反向應用：

• 由邊求角： A = arctan(a / b)，已知斜邊時 A = arcsin(a / c)
• 由斜邊和角求邊： a = c × sin A，b = c × cos A
• 由直角邊和角求另一邊： b = a / tan A

面積與周長

三邊全部求出後：

• 面積 = a × b / 2
• 周長 = a + b + c

計算範例： 直角邊為 7 cm 和 24 cm 的直角三角形，面積 = ½ × 7 × 24 = 84 cm²，斜邊 = $\sqrt{625} = 25$ cm，周長 = 56 cm。（7-24-25 是常見的畢氏數組。）

各模式適用情境

兩直角邊 — 最常見的情形：梯子靠牆、矩形對角線、平面圖上的直角距離計算。

直角邊 + 斜邊 — 知道斜面長度（斜邊）和一個直角邊，例如已知屋椽長度和橫向跨距。

直角邊 + 角度 — 測量和土木工程常用。範例：傾斜角 30°、水平距離 5 m 的輸送帶長度為 5 / cos 30° ≈ 5.77 m，高度為 5 × tan 30° ≈ 2.89 m。

斜邊 + 角度 — 物理學向量分解的應用：大小為 c、角度為 A 的力的水平分量為 b = c × cos A，垂直分量為 a = c × sin A。

常見問題（FAQ）

這和畢氏定理計算機有什麼不同？

畢氏定理計算機只能在知道兩邊時求第三邊。這個計算機增加了四種解法模式：只要輸入一邊和一個角度，就能同時求出所有缺少的邊長、兩個銳角、面積和周長。

如何用兩個邊長求直角三角形的角度？

在「兩直角邊」模式下：角度 A = arctan(a / b)。在「直角邊 + 斜邊」模式下：角度 A = arcsin(a / c)。互補角 B = 90° − A 會自動計算。範例：3-4-5 三角形 → A ≈ 36.87°，B ≈ 53.13°。

知道斜邊和角度，怎麼求直角邊的長度？

選擇「斜邊 + 角度」模式，輸入斜邊 c 和角度 A，即可計算：a = c × sin(A)，b = c × cos(A)。範例：c = 10，A = 37° → a ≈ 6.02，b ≈ 7.99。

45 度直角三角形的邊長比例是多少？

45°-45°-90° 的等腰直角三角形兩條直角邊相等，邊長比為 1 : 1 : √2 ≈ 1.414。設直角邊為 a，則斜邊 = a√2，面積 = a² / 2。