二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則

最後更新：2026-05-19

定義與標準形式

二元一次聯立方程組由兩個含有相同未知數 $x$ 與 $y$ 的一次方程式組成，目標是同時滿足兩者的解。其標準形式如下：

$$a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2$$

輸入六個係數（a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂），計算機將套用克拉瑪法則求出 x 與 y 的值，並自動判斷方程組是否有唯一解、無窮多解或無解，同時逐步顯示行列式與分子的計算過程，方便確認作業或試題的解題步驟。

克拉瑪法則

首先計算係數矩陣的行列式：

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

當 D ≠ 0 時，方程組的唯一解為：

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

每個分子都是將係數矩陣的某一行換成常數項向量後所得行列式的值。這本質上是 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ 的逐分量展開。

幾何意義

每個方程式 $ax + by = c$ 在 xy 平面上代表一條直線。解聯立方程組等同於找兩直線的交點。

• D ≠ 0（唯一解）：兩直線相交於一點，係數矩陣可逆。
• D = 0 且分子均為 0（無窮多解）：兩直線重合——一個方程式是另一個的常數倍，直線上所有點均為解。
• D = 0 且至少一個分子不為 0（無解）：兩直線平行，沒有共同交點，方程組不相容。

範例計算

以預設值為例，解以下方程組：

$2x + 3y = 8 \quad \text{且} \quad x - y = 1$

第一步 — 計算行列式：

$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$$

D ≠ 0，方程組有唯一解。

第二步 — 求 x：

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2.2$

第三步 — 求 y：

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1.2$

驗算：

$2 \times 2.2 + 3 \times 1.2 = 4.4 + 3.6 = 8 \checkmark \quad \text{且} \quad 2.2 - 1.2 = 1 \checkmark$

行列式等於零時的處理

D = 0 時，係數矩陣的兩列成比例：$[a_1, b_1] = k[a_2, b_2]$。接著比較常數項：

• 若 $c_1 = k c_2$，兩個克拉瑪分子均為零 → 無窮多解。
• 若 $c_1 \neq k c_2$，至少一個分子不為零 → 無解。

實作上只需計算 $c_1 b_2 - c_2 b_1$ 與 $a_1 c_2 - a_2 c_1$：兩者皆為零則無窮多解，否則無解。

常見問題（FAQ）

行列式在聯立方程組中代表什麼意義？

行列式 D = a₁b₂ − a₂b₁ 表示係數矩陣是否可逆。D ≠ 0 時，兩直線交於一點，方程組有唯一解。D = 0 時，兩直線平行或重合：方程組無解或有無窮多解，需進一步判斷常數項是否相容。

聯立方程組何時有無窮多解？

當兩個方程式表示同一條直線時，即一個方程式是另一個的常數倍，行列式與兩個克拉瑪分子均為零，該直線上所有點都是方程組的解。

克拉瑪法則和代入法哪個比較方便？

代入法在係數簡單時適合手算。克拉瑪法則直接給出封閉式解，適合係數矩陣固定而常數項不斷變動的情況，也便於以符號形式表示解。

行列式等於零不一定代表無解，原因是什麼？

D = 0 只表示係數矩陣奇異（兩列線性相依），並不直接說明解的存在性。若常數項與係數成比例（相容），則方程組有無窮多解；只有當克拉瑪分子不全為零時，方程組才真正無解。