環形體體積計算機

最後更新：2026-05-18

定義

環形體（圓環面）是將一個圓繞著平面外的軸旋轉一圈所形成的立體。生活中常見的例子有甜甜圈、輪胎內胎、O形環（O-ring）和救生圈。完整定義一個環形體只需兩個半徑：主半徑 R（環形體中心軸到管中心的距離）和副半徑 r（管截面的半徑）。

本計算機由 R 和 r 求出體積與表面積。

公式

兩個公式均由帕普斯重心定理導出：旋轉體的體積（或表面積）等於截面面積（或周長）乘以重心所走的路徑長度。

體積 — 圓形截面 $\pi r^2$ 沿距離 $2\pi R$ 旋轉：

$V = 2\pi^2 R r^2$

表面積 — 圓形周長 $2\pi r$ 沿距離 $2\pi R$ 旋轉：

$A = 4\pi^2 R r$

計算範例

題目： 一個橡膠 O 形環的主半徑為 20 mm，副半徑為 3 mm，求其體積與表面積。

R = 0.020 m，r = 0.003 m：

$V = 2\pi^2 \times 0.020 \times 0.003^2 \approx 3.55 \text{ cm}^3$

$A = 4\pi^2 \times 0.020 \times 0.003 \approx 23.69 \text{ cm}^2$

腳踏車輪胎內胎（R ≈ 30 cm，r ≈ 2 cm）的體積約為 $V \approx 2.37 \text{ L}$。

環形體的種類

條件	類型	說明
R > r	環形圓環	中央有孔 — 標準甜甜圈形狀
R = r	角形圓環	內孔縮為一個點
R < r	紡錘形圓環	表面自我相交，無法在現實中製造

常見問題（FAQ）

環形體的體積公式是什麼？

環形體的體積公式為 V = 2π²Rr²，其中 R 是主半徑（從環形體中心軸到管中心的距離），r 是副半徑（管本身的半徑）。舉例而言，R = 10 cm、r = 3 cm 的環形體，體積為 V = 2 × π² × 0.10 × 0.03² ≈ 1 777 cm³。此公式源自帕普斯定理：體積等於圓形截面積（πr²）乘以其重心所行進的距離（2πR）。

環形體的主半徑與副半徑有何不同？

主半徑 R 從環形體的中心軸量至管的中心，決定圓環整體的大小。副半徑 r 是管本身的半徑，決定圓環的粗細。一般環形體（環形圓環）要求 R 大於 r。當 R = r 時，內側孔洞消失，形成角形環面（horn torus）；當 R < r 時，表面自我相交，形成紡錘形環面（spindle torus）。

什麼是環形圓環（ring torus）？

環形圓環是 R > r 的常見甜甜圈形狀，中央有一個孔洞穿過。這是數學與工程中最普遍的形態，常見於 O 形環、救生圈、輪胎內胎等。當 R = r 時，內孔縮為一點，形成角形環面。當 R < r 時，表面在中央自我相交，形成紡錘形環面。本計算機可正確計算三種類型的體積與表面積，但不自我相交而可實體實現的只有環形圓環。