三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素

最後更新：2026-05-18

已知一邊兩角求解三角形（ASA）

ASA（角-邊-角）是指已知一條邊及其兩端夾角的情形。由於任意三角形的內角和恆為 180°，第三個角只需簡單相減即可求得。接著利用正弦定理求出其餘兩邊，再由正弦定理的推廣形式直接得到外接圓半徑。

求第三角

$C = 180° - A - B$

此步驟不需要任何三角函數，純粹是算術。只要知道兩個角，三角形的形狀便完全確定；邊長則決定其大小比例。

用正弦定理求未知邊

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

以已知邊 $c$ 與推導出的角 $C$：

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \qquad b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

計算範例 — $c = 8$、$A = 50°$、$B = 60°$：

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \sin 50°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0.766}{0.940} \approx 6.527$

$b = \frac{8 \sin 60°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0.866}{0.940} \approx 7.378$

面積計算

面積可以直接從 ASA 的輸入值求出，無需先計算各邊：

$S = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$

此公式可避免因中間步驟的捨入而累積誤差。

外接圓半徑

正弦定理的公比等於外接圓的直徑：

$\frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\sin C}$

以上例為例：$R = 8 \div (2\sin 70°) \approx 4.257$。

對於直角三角形（$C = 90°$，$\sin 90° = 1$），$R = c/2$——外接圓半徑等於斜邊的一半，這是正弦定理的著名推論。

內切圓半徑

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

ASA 與 AAS 的差異

兩種情形都能唯一確定一個三角形：

• ASA：已知邊在兩個已知角之間。
• AAS：已知邊不在兩個已知角之間。

數值計算上，兩者在求出 $C = 180° - A - B$ 後，以正弦定理求解的方式完全相同。差異僅存在於幾何全等的證明中，對計算結果沒有影響。

正弦定理的限制

當正弦定理應用於 SSA（兩邊與一非夾角）時，可能出現滿足同一組測量值的兩個不同三角形，即所謂的「歧義情形」。本計算機僅處理 ASA 條件——已知邊的兩端皆有角度約束——因此不會產生歧義。

常見問題（FAQ）

已知一邊兩角時，如何求三角形的其他元素？

先求第三角：C = 180° − A − B。再用正弦定理（a ÷ sin A = c ÷ sin C）計算未知邊：a = c × sin A ÷ sin C，b = c × sin B ÷ sin C。例如 c = 8、A = 50°、B = 60°：C = 70°，a = 8 × sin 50° ÷ sin 70° ≈ 6.527，b = 8 × sin 60° ÷ sin 70° ≈ 7.378。

正弦定理是什麼？

正弦定理表示：在任意三角形中，a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R，其中 R 為外接圓半徑。這個公比等於外接圓的直徑。當已知某角及其對邊時（ASA 或 AAS），使用正弦定理；當已知兩邊及其夾角時（SAS 或 SSS），則改用餘弦定理。

外接圓半徑和正弦定理有什麼關係？

廣義正弦定理直接給出 R = c ÷ (2 sin C)。外接圓半徑等於任意一邊除以其對角正弦值的兩倍。對於直角三角形（C = 90°），sin 90° = 1，因此 R = c ÷ 2——即外接圓半徑等於斜邊的一半，這是正弦定理的著名推論。在 ASA 情形下，以已知邊 c 和推導出的角 C 計算 R。

ASA 和 AAS 有什麼差別？

ASA（角-邊-角）是指已知邊介於兩個已知角之間；AAS（角-角-邊）是指已知邊不在兩個角之間。兩種情形均能唯一確定三角形，且在求出第三角 C = 180° − A − B 後，以正弦定理求解的方式完全相同。在幾何全等證明中兩者有所區別，但對數值計算沒有影響。