三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素

最後更新：2026-05-18

從兩邊夾角求解三角形（SAS）

SAS（邊-角-邊）是三角形最常見的解法情境之一：已知兩邊及其夾角，需要求出其餘所有元素。核心工具是餘弦定理，先求出第三邊，再依序求各角度、面積與內外接圓半徑。

求第三邊

已知邊 $a$、$b$ 及夾角 $C$，對應 $C$ 的邊 $c$ 為：

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

計算範例 — $a = 5$、$b = 7$、$C = 60°$：

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.245$

當 $C = 90°$ 時，$\cos 90° = 0$，公式化為畢氏定理 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

由SAS求面積

面積可直接由兩邊與夾角計算，無需先求 $c$：

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

以上例為例：$S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.155$。

求其餘角度

求得 $c$ 後，再次應用餘弦定理求角 $A$：

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

再由 $B = 180° - A - C$ 求角 $B$。

正弦定理（$A = \arcsin(a\sin C \div c)$）也可使用，但餘弦定理形式更安全，可避免 $\arcsin$ 在鈍角時的歧義。

外接圓與內切圓半徑

三邊與面積均已知後：

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{其中 } s = \frac{a+b+c}{2}$

以 3-4-5 直角三角形為例（$a_{}=3$、$b_{}=4$、$C=90^{\circ}$），代入得 $c_{}=5$、$S_{}=6$、$R_{}=2.5$、$r_{}=1$。

SAS與SSS的選用時機

已知	求解	方法
SSS（三邊）	所有角度	餘弦定理（3次）＋海龍公式
SAS（兩邊＋夾角）	第三邊，再求角度	餘弦定理 → SSS

用量角器或測量儀器直接量角時，SAS是自然的選擇。求得第三邊後，問題即轉化為SSS。

SAS 與 SSA 的差異

SAS要求角必須夾在兩邊之間。若角不在兩邊之間，則為SSA配置，可能有零個、一個或兩個解。本計算機僅處理無歧義的SAS情況。

常見問題（FAQ）

已知兩邊與夾角，如何求第三邊？

套用餘弦定理：c² = a² + b² − 2ab cos C。例如 a = 5、b = 7、C = 60°：c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39，故 c = √39 ≈ 6.245。當 C = 90° 時，cos 90° = 0，公式化為畢氏定理。

三角形的SAS條件是什麼？

SAS（邊-角-邊）指已知兩邊及其夾角的情形，是三角形全等的判定條件之一。若已知角非兩邊之夾角，則為SSA情形（邊-邊-角），可能有零個、一個或兩個解，具有歧義性。

解出第三邊後，如何求其餘兩角？

三邊皆知後，再次應用餘弦定理：A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc))，再由 B = 180° − A − C 求角 B。亦可用正弦定理：A = arcsin(a sin C ÷ c)，但餘弦定理形式更安全，可避免 arcsin 在鈍角時的歧義。

何時用SAS，何時用SSS？

三邊皆知時用SSS；已知兩邊與夾角時用SAS，先以餘弦定理求第三邊，再依SSS方式解算。實務上，用量角器或測量儀器直接量角時常見SAS；三邊均可直接量測時則用SSS。