三角形計算機（SSS）— 三邊求全

最後更新：2026-05-18

由三邊求解三角形（SSS）

已知三角形三邊長時（SSS 條件），利用餘弦定理即可算出所有角度、面積及外接圓、內切圓半徑。

餘弦定理

三角形三邊 $a$、$b$、$c$ 與對角 $A$、$B$、$C$ 的關係：

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

即 $A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$。

同理求 $B$，再由 $C = 180° - A - B$ 得第三角。

計算範例 — 3:4:5 直角三角形：

$A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0.8) \approx 36.87°$

$B \approx 53.13°, \quad C = 90°$

三角不等式

並非任意三條線段都能組成三角形，需滿足：

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

例如 1、2、10 不符合，因為 $1 + 2 = 3 < 10$。

海龍公式（面積）

無需計算角度即可由三邊求面積。先算半周長：

$s = \frac{a + b + c}{2}$

再套用海龍公式：

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

以 3:4:5 為例：$s = 6$，$S = \sqrt{36} = 6$。

外接圓與內切圓半徑

外接圓半徑 $R$（過三頂點的圓）：

$R = \frac{abc}{4S}$

內切圓半徑 $r$（與三邊相切的圓）：

$r = \frac{S}{s}$

3:4:5 三角形：$R = 60/24 = 2.5$，$r = 1$。

直角三角形可用 $R = c/2$ 作驗算（外接圓半徑等於斜邊的一半）。

與畢氏定理的關係

$C = 90°$ 時，$\cos 90° = 0$，餘弦定理化簡為：

$c^2 = a^2 + b^2$

這正是畢氏定理——它是餘弦定理的特殊情況。

常見畢氏三元數

a	b	c	面積
3	4	5	6
5	12	13	30
8	15	17	60
7	24	25	84

任一畢氏三元數的整數倍仍為畢氏三元數（如 6、8、10 = 3、4、5 的兩倍）。

常見問題（FAQ）

已知三邊，如何求各角度？

利用餘弦定理：cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)，故 A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc))。同理求 B，再由 C = 180° − A − B 得 C。以 3、4、5 三邊為例：A ≈ 36.87°、B ≈ 53.13°、C = 90°。

餘弦定理是什麼？什麼時候使用？

餘弦定理將畢氏定理推廣至任意三角形：c² = a² + b² − 2ab cos C。已知三邊（SSS）可求各角；已知兩邊夾角（SAS）可求第三邊。當 C = 90° 時，cos 90° = 0，公式即化為畢氏定理。

如何由三邊計算外接圓與內切圓半徑？

外接圓半徑 R（過三頂點的圓）：R = abc ÷ (4S)。內切圓半徑 r（與三邊相切的圓）：r = S ÷ s，其中 s = (a + b + c) ÷ 2。以 3-4-5 三角形為例：S = 6，故 R = 60 ÷ 24 = 2.5，r = 6 ÷ 6 = 1。

任意三條線段都能組成三角形嗎？

不一定。三角不等式要求每邊須小於另兩邊之和：a + b > c、b + c > a、a + c > b。例如 1、2、10 不符合，因為 1 + 2 = 3 < 10。若恰好等號成立（如 1、2、3），則為退化三角形，面積為零。

SSS 方法與海龍公式有何不同？

海龍公式僅能由三邊求面積；SSS 方法（餘弦定理）還能進一步求出各角度及外接圓、內切圓半徑。實務上常搭配使用：先以海龍公式求面積，再代入 R = abc ÷ (4S) 及 r = S ÷ s。