Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Die Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung verknüpft Druck, Geschwindigkeit und Höhe einer strömenden Flüssigkeit. Sie drückt die Energieerhaltung entlang einer Stromlinie aus: Wird ein Fluid schneller oder steigt es auf, muss sein Druck sinken, damit die Gesamtenergie pro Volumeneinheit konstant bleibt. Diese Beziehung liegt dem Venturi-Effekt, der Geschwindigkeitsmessung mit dem Pitotrohr und einem großen Teil der alltäglichen Hydraulik zugrunde.

Die Gleichung

Für eine stationäre, inkompressible, reibungsfreie Strömung entlang einer einzelnen Stromlinie ist die Summe dreier Terme konstant:

$P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{konstant}$

Zwischen zwei Punkten geschrieben, Punkt 1 (stromaufwärts) und Punkt 2 (stromabwärts):

$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

Jeder Term ist ein Druck (Energie pro Volumeneinheit): $P$ ist der statische Druck, $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ der dynamische Druck und $\rho g h$ der Schwereterm. Nach dem stromabwärts liegenden Druck aufgelöst ergibt sich die Form, die dieser Rechner verwendet:

$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(h_1 - h_2\right)$

Symboltabelle

Rechenbeispiel

Der Venturi-Effekt

Verengt sich ein Rohr, verlangt die Massenerhaltung (Kontinuität) $A_1 v_1 = A_2 v_2$, sodass das Fluid in der engen Stelle schneller werden muss. Die Bernoulli-Gleichung erzwingt dann ein Absinken des statischen Drucks dort. Diese Druckminderung in einer Verengung ist der Venturi-Effekt. Er wird in Venturi-Durchflussmessern (die den Volumenstrom aus dem gemessenen Druckabfall ableiten), Vergasern (die Kraftstoff in die Niederdruckstelle saugen) und Strahlpumpen genutzt.

Anschauung zum Auftrieb

Über die gewölbte Oberseite einer Tragfläche schneller strömende Luft hat einen geringeren statischen Druck als die langsamere Luft darunter, und diese Differenz trägt zum Auftrieb bei. Das ist eine nützliche Anschauung, aber nur ein Teil des Bildes: Eine vollständige Beschreibung des Auftriebs umfasst auch die Abwärtsablenkung der Luft und die Zirkulation um den Flügel. Die Bernoulli-Gleichung erklärt die Druckdifferenz, nicht die vollständige Entstehung der Kraft.

Annahmen und Grenzen

Die Bernoulli-Gleichung ist nur exakt für eine stationäre, inkompressible und reibungsfreie Strömung, ausgewertet entlang einer einzelnen Stromlinie ohne Pumpen, Turbinen oder Wärmeaustausch zwischen den beiden Punkten. Reale Strömungen verlieren Energie durch Reibung und Turbulenz; über lange Rohre werden diese Verluste durch ein Verlustglied erfasst. Für Gase oberhalb etwa Mach 0,3 bricht die Annahme der Inkompressibilität zusammen, und es sind kompressible Beziehungen nötig. Innerhalb ihrer Annahmen ist die Gleichung jedoch ein bemerkenswert genaues und weit verbreitetes Werkzeug.