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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:34

Kompressionsmodul-Rechner

Eingaben

Druckänderung10 MPa
Ausgangsvolumen1 l
Volumenabnahme0,005 l

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/physics/bulk-modulus

Physik

Kompressionsmodul-Rechner

Berechnet den Kompressionsmodul K aus einem Druckversuch: Geben Sie die Druckzunahme, das Ausgangsvolumen und die Volumenabnahme ein, um K = ΔP /(ΔV/V₀) zu erhalten – mit Volumendehnung und Kompressibilität als Ergänzung.

Eingaben

Ergebnisse

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\begin{aligned} K &= \dfrac{\Delta P}{\Delta V / V_0} \\ &= \dfrac{ 10\,\text{MPa} }{ 0,005\,\text{l} / 1\,\text{l} } \\ &= ?\,\text{GPa} \end{aligned}
\begin{aligned} \varepsilon_V &= \dfrac{\Delta V}{V_0} = \dfrac{ 0,005\,\text{l} }{ 1\,\text{l} } \\ &= ? \end{aligned}
\beta = \dfrac{1}{K} = ?\ \text{Pa}^{-1}

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Kompressionsmodul

Der Kompressionsmodul ist eine einzige Zahl dafür, wie stark ein Werkstoff sich dagegen wehrt, von allen Seiten gleichzeitig zusammengedrückt zu werden. Drücken Sie auf einen Stahlblock, schrumpft er kaum; drücken Sie auf ein Luftpolster, gibt es leicht nach. Genau diesen Unterschied misst der Kompressionsmodul. Dieser Rechner ermittelt ihn aus einem einfachen Druckversuch: einer bekannten Druckzunahme auf eine Probe bekannten Volumens und der kleinen Volumenabnahme, die darauf folgt.

Woher die Formel kommt

Erhöht man den Druck auf eine Probe um ΔP\Delta P, fällt ihr Volumen um ΔV\Delta V. Die Volumendehnung ist dieser Verlust als Anteil des Ausgangsvolumens, εV=ΔV/V0\varepsilon_V = \Delta V / V_0, ein reines Verhältnis. Im elastischen Bereich ist der relative Volumenrückgang proportional zum aufgebrachten Druck, und die Proportionalitätskonstante ist der Kompressionsmodul:

K=−ΔPΔV/V0.K = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V_0}.

Das Minuszeichen steht dort, weil das Volumen fällt, während der Druck steigt; ΔV\Delta V ist also tatsächlich negativ, und das Verhältnis käme sonst negativ heraus. Mit dem Betrag der Volumenabnahme schreibt der Rechner dieselbe Beziehung als K=ΔP/(ΔV/V0)K = \Delta P / (\Delta V / V_0), was stets positiv ist.

Formel

GrößeSymbolBedeutung
KompressionsmodulKKK=ΔPΔV/V0K = \dfrac{\Delta P}{\Delta V / V_0}
VolumendehnungεV\varepsilon_VεV=ΔVV0\varepsilon_V = \dfrac{\Delta V}{V_0}
Kompressibilitätβ\betaβ=1K\beta = \dfrac{1}{K}
DruckänderungΔP\Delta PGleichmäßig aufgebrachter Druck
AusgangsvolumenV0V_0Volumen vor dem Druck

Da die Volumendehnung einheitenlos ist, trägt KK die Einheit des Drucks – Pascal – und wird meist in Gigapascal (GPa) angegeben.

Rechenbeispiel

Ein Liter Wasser (V0=1 LV_0 = 1\ \text{L}) wird um zusätzliche ΔP=10 MPa\Delta P = 10\ \text{MPa} unter Druck gesetzt, und sein Volumen schrumpft um ΔV=0.005 L\Delta V = 0.005\ \text{L} (5 mL):

εV=ΔVV0=0.0051=5×10−3K=ΔPεV=10 MPa5×10−3=2000 MPa=2 GPaβ=1K=12×109 Pa=5×10−10 Pa−1\begin{aligned} \varepsilon_V &= \frac{\Delta V}{V_0} = \frac{0.005}{1} = 5\times10^{-3} \\ K &= \frac{\Delta P}{\varepsilon_V} = \frac{10\ \text{MPa}}{5\times10^{-3}} = 2000\ \text{MPa} = 2\ \text{GPa} \\ \beta &= \frac{1}{K} = \frac{1}{2\times10^{9}\ \text{Pa}} = 5\times10^{-10}\ \text{Pa}^{-1} \end{aligned}

Diese 2 GPa liegen nahe am Lehrbuchwert von Wasser, etwa 2,2 GPa.

Eine Gallone Wasser (V0=1 galV_0 = 1\ \text{gal}) wird um zusätzliche ΔP=1450 psi\Delta P = 1450\ \text{psi} unter Druck gesetzt, und ihr Volumen schrumpft um ΔV=0.005 gal\Delta V = 0.005\ \text{gal}:

εV=ΔVV0=0.0051=5×10−3K=ΔPεV=1450 psi5×10−3=290 000 psi\begin{aligned} \varepsilon_V &= \frac{\Delta V}{V_0} = \frac{0.005}{1} = 5\times10^{-3} \\ K &= \frac{\Delta P}{\varepsilon_V} = \frac{1450\ \text{psi}}{5\times10^{-3}} = 290\,000\ \text{psi} \end{aligned}

Diese 290.000 psi sind das imperiale Gegenstück zu rund 2 GPa, der Steifigkeit von Wasser gegen Kompression.

Kompressionsmodul und Kompressibilität

Die Kompressibilität β=1/K\beta = 1/K ist einfach der umgedrehte Kompressionsmodul. Ein steifer Werkstoff hat ein großes KK und damit ein kleines β\beta. Weil KK in Pascal gemessen wird, ergibt sich β\beta in inversen Pascal (Pa−1\text{Pa}^{-1}), weshalb der Rechner den Wert in wissenschaftlicher Schreibweise anzeigt – für Wasser etwa 4.6×10−10 Pa−14.6\times10^{-10}\ \text{Pa}^{-1}. Manche Fachgebiete geben die Kompressibilität lieber pro Gigapascal an, wo Wasser bei rund 0.46 GPa−10.46\ \text{GPa}^{-1} liegt.

Typische Werte

Die Spanne über die Aggregatzustände hinweg ist enorm. Luft bei konstanter Temperatur hat einen Kompressionsmodul von nur etwa 0,1 MPa und lässt sich leicht komprimieren. Wasser liegt bei rund 2,2 GPa, Quecksilber nahe 28 GPa, gewöhnliches Glas 35–55 GPa, Baustahl um 160 GPa und Diamant über 400 GPa. Deshalb sind Hydraulikmaschinen mit Öl statt Luft gefüllt: Eine nahezu inkompressible Flüssigkeit überträgt Kraft fast ohne Bewegungsverlust, während ein Gas einfach zurückfedern würde.

Flüssigkeiten und Festkörper

Für eine Flüssigkeit ist der Kompressionsmodul die einzige elastische Konstante, die zählt – ein Fluid hat keine feste Form, es widersteht einer Volumenänderung, aber nicht einer Formänderung. Ein Festkörper widersteht beidem, und sein Kompressionsmodul steht neben dem Elastizitätsmodul und dem Schubmodul in einer vollständigeren Beschreibung seiner Verformung. Für einen isotropen Festkörper sind die drei über die Poissonzahl verknüpft, sodass zwei von ihnen die dritte festlegen.

Grenzen

Der Zusammenhang ist nur linear, solange der Werkstoff elastisch bleibt und nach dem Entlasten zurückfedert; bei extremen Drücken krümmt sich die Kennlinie, und der Kompressionsmodul selbst ändert sich mit dem Druck. Bei Gasen hängt das Ergebnis zudem davon ab, wie die Kompression abläuft – der isotherme Kompressionsmodul (langsam, konstante Temperatur) unterscheidet sich vom adiabatischen (schnell, kein Wärmeaustausch). Die Rechnung setzt einen gleichmäßigen Druck auf der gesamten Oberfläche voraus und eine Probe, die ihr Volumen frei ändern kann, ohne zu lecken oder ihren Aggregatzustand zu wechseln.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Kompressionsmodul?

Der Kompressionsmodul K misst, wie stark ein Stoff dem allseitigen Zusammendrücken widersteht. Er ist die Druckzunahme, die für eine bestimmte relative Volumenabnahme nötig ist: Ein steifer Werkstoff wie Stahl schrumpft kaum und hat daher einen großen Kompressionsmodul, ein Gas lässt sich leicht komprimieren und hat einen sehr kleinen. Anders als der Elastizitätsmodul, der das Dehnen eines Stabs in eine Richtung beschreibt, erfasst der Kompressionsmodul den gleichmäßigen (hydrostatischen) Druck auf die gesamte Oberfläche.

Wie lautet die Formel für den Kompressionsmodul?

Der Kompressionsmodul ist K = −ΔP /(ΔV/V₀), die Druckänderung geteilt durch die relative Volumenänderung. Das Minuszeichen hält K positiv, weil das Volumen sinkt, während der Druck steigt. Mit dem Betrag der Volumenabnahme schreibt dieser Rechner K = ΔP /(ΔV/V₀). Da die Volumendehnung ΔV/V₀ einheitenlos ist, trägt K die Einheit des Drucks – Pascal – und wird meist in Gigapascal (GPa) angegeben.

Wie hängen Kompressionsmodul und Kompressibilität zusammen?

Die Kompressibilität ist schlicht der Kehrwert des Kompressionsmoduls, β = 1/K. Ein großer Kompressionsmodul bedeutet eine kleine Kompressibilität: Der Stoff ist steif und schwer zusammendrückbar. Weil K in Pascal gemessen wird, ergibt sich β in inversen Pascal (Pa⁻¹), eine sehr kleine Zahl – die Kompressibilität von Wasser liegt bei etwa 4,6×10⁻¹⁰ Pa⁻¹, passend zum Kompressionsmodul von rund 2,2 GPa.

Welche Kompressionsmodul-Werte sind typisch?

Grobe Werte: Luft bei konstanter Temperatur etwa 0,1 MPa, Wasser rund 2,2 GPa, Quecksilber etwa 28 GPa, gewöhnliches Glas 35–55 GPa, Stahl ungefähr 160 GPa und Diamant über 400 GPa. Flüssigkeiten und Feststoffe sind weit steifer als Gase – deshalb arbeiten Hydraulikanlagen mit Öl statt Luft: Die nahezu inkompressible Flüssigkeit überträgt die Kraft fast ohne Volumenänderung.

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