Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Elastischer-Stoß-Rechner

Eingaben

Masse 1	2 kg
Anfangsgeschwindigkeit 1	3 m/s
Masse 2	4 kg
Anfangsgeschwindigkeit 2	-1 m/s

Physik

Elastischer-Stoß-Rechner

Lösen Sie einen eindimensionalen elastischen Stoß zwischen zwei Körpern. Geben Sie Massen und Anfangsgeschwindigkeiten ein, um beide Endgeschwindigkeiten samt Impuls- und Energiekontrolle zu erhalten.

Masse 1

Anfangsgeschwindigkeit 1

Masse 2

Anfangsgeschwindigkeit 2

Geben Sie einen Wert ein, um die Ergebnisse zu sehen.

Endgeschwindigkeit 1

\begin{aligned} v_1 &= \dfrac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \dfrac{\left(2\,\text{kg} - 4\,\text{kg}\right)\left(3\,\text{m/s}\right) + 2\left(4\,\text{kg}\right)\left(-1\,\text{m/s}\right)}{2\,\text{kg} + 4\,\text{kg}} \\ &= ?\,\text{m/s} \end{aligned}

Endgeschwindigkeit 2

\begin{aligned} v_2 &= \dfrac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \dfrac{\left(4\,\text{kg} - 2\,\text{kg}\right)\left(-1\,\text{m/s}\right) + 2\left(2\,\text{kg}\right)\left(3\,\text{m/s}\right)}{2\,\text{kg} + 4\,\text{kg}} \\ &= ?\,\text{m/s} \end{aligned}

Details

Impuls vorher

kg·m/s

Impuls nachher

kg·m/s

Kinetische Energie vorher

Kinetische Energie nachher

Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Elastische Stöße in einer Dimension

Ein elastischer Stoß ist ein Stoß, bei dem sowohl der Impuls als auch die kinetische Energie erhalten bleiben. Nichts geht durch Wärme, Schall oder Verformung verloren, sodass die beiden Körper genau mit der kinetischen Energie auseinanderfliegen, die sie mitgebracht haben. Harte Kugeln wie Billardkugeln, Gasmoleküle und kollidierende Elementarteilchen sind alle nahezu ideal elastisch. Dieser Rechner nimmt die beiden Massen und ihre Anfangsgeschwindigkeiten entlang einer Linie und liefert beide Endgeschwindigkeiten samt Impuls und kinetischer Energie vor und nach dem Stoß, damit sich die Erhaltungssätze direkt prüfen lassen.

Weil alles entlang einer Achse geschieht, wird die Geschwindigkeit durch eine vorzeichenbehaftete Zahl erfasst: Wählen Sie eine Richtung als positiv, dann erhält ein in die andere Richtung bewegter Körper einen negativen Wert.

Die beiden Erhaltungssätze

Einen eindimensionalen elastischen Stoß bestimmen zwei Gleichungen. Impulserhaltung:

m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2

und Erhaltung der kinetischen Energie:

\tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2

Löst man das Paar nach den unbekannten Endgeschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ auf, erhält man die geschlossene Form, die der Rechner verwendet:

v_1 = \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2 = \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2}

Aus derselben Algebra folgt eine nützliche Zwischeneinsicht: Bei einem elastischen Stoß ist die Relativgeschwindigkeit der Annäherung gleich der Relativgeschwindigkeit der Trennung, $u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2)$ . Die Körper trennen sich so schnell, wie sie zusammengekommen sind.

Wichtige Sonderfälle

Situation	Ergebnis
Gleiche Massen ( $m_1 = m_2$ )	Die Körper tauschen die Geschwindigkeiten: $v_1 = u_2$ , $v_2 = u_1$ .
Leichter Körper trifft schwere Wand ( $m_2 \gg m_1$ , $u_2 = 0$ )	Der leichte Körper prallt mit fast gleicher Geschwindigkeit zurück: $v_1 \approx -u_1$ .
Schwerer Körper trifft leichten ( $m_1 \gg m_2$ , $u_2 = 0$ )	Der schwere Körper wird kaum langsamer; der leichte schießt mit etwa $2u_1$ davon.

Der Gleichmassenfall ist das Prinzip hinter der Newton-Wiege und einem sauberen Frontalstoß beim Billard: Die Spielkugel bleibt stehen, und die getroffene Kugel fliegt mit der ursprünglichen Geschwindigkeit der Spielkugel weg.

Rechenbeispiel

Ein 2-kg-Wagen, der sich mit 3 m/s nach rechts bewegt, trifft auf einen 4-kg-Wagen, der ihm mit 1 m/s entgegenkommt (also $u_2 = -1$ m/s). Mit „rechts" als positiv:

\begin{aligned} v_1 &= \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(2 - 4)(3) + 2(4)(-1)}{2 + 4} \\ &= \frac{-6 - 8}{6} \approx -2{,}33\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v_2 &= \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(4 - 2)(-1) + 2(2)(3)}{2 + 4} \\ &= \frac{-2 + 12}{6} \approx 1{,}67\ \text{m/s} \end{aligned}

Der leichtere Wagen prallt zurück (negatives $v_1$ ), während der schwerere die Richtung umkehrt und nach rechts fährt. Zur Kontrolle: Der Impuls vorher ist $2(3) + 4(-1) = 2$ kg·m/s und nachher $2(-2{,}33) + 4(1{,}67) = 2$ kg·m/s; die kinetische Energie vorher ist $\tfrac{1}{2}(2)(3^2) + \tfrac{1}{2}(4)(1^2) = 11$ J und nachher $\tfrac{1}{2}(2)(2{,}33^2) + \tfrac{1}{2}(4)(1{,}67^2) = 11$ J. Beide bleiben erhalten, wie es ein elastischer Stoß verlangt.

Ein 4-lb-Gleiter, der sich mit 10 ft/s bewegt, trifft auf einen 8-lb-Gleiter, der ihm mit 3 ft/s entgegendriftet ( $u_2 = -3$ ft/s). Mit der Richtung des ersten Gleiters als positiv:

\begin{aligned} v_1 &= \frac{(m_1 - m_2)\,u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(4 - 8)(10) + 2(8)(-3)}{4 + 8} \\ &= \frac{-40 - 48}{12} \approx -7{,}33\ \text{ft/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v_2 &= \frac{(m_2 - m_1)\,u_2 + 2 m_1 u_1}{m_1 + m_2} \\ &= \frac{(8 - 4)(-3) + 2(4)(10)}{4 + 8} \\ &= \frac{-12 + 80}{12} \approx 5{,}67\ \text{ft/s} \end{aligned}

Der leichtere Gleiter prallt zurück, der schwerere bewegt sich in die ursprüngliche Richtung des ersten, und die Relativgeschwindigkeit der Trennung ( $5{,}67 - (-7{,}33) = 13$ ft/s) ist gleich der Relativgeschwindigkeit der Annäherung ( $10 - (-3) = 13$ ft/s), wie es sein muss.

Wann das Modell gilt

Reale Stöße sind selten ideal elastisch — fast immer entweicht ein Teil der kinetischen Energie als Wärme oder Schall. Die elastischen Gleichungen sind das richtige Werkzeug, wenn dieser Verlust vernachlässigbar ist: Stahlkugellager, nahezu reibungsfreie Luftkissengleiter mit Magnet- oder Federpuffern und Streuung auf atomarer Ebene. Kleben die Körper aneinander oder verformen sie sich sichtbar, ist der Stoß unelastisch und die kinetische Energie bleibt nicht erhalten, sodass diese Formeln nicht mehr gelten. Die hier ausgegebenen Werte für den Impuls vorher und nachher bleiben bei jedem abgeschlossenen Stoß gleich; dass das Paar der kinetischen Energien gleich bleibt, ist das Kennzeichen, das den elastischen Fall auszeichnet.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein elastischer Stoß?

Ein elastischer Stoß ist ein Stoß, bei dem sowohl der Gesamtimpuls als auch die gesamte kinetische Energie erhalten bleiben. Es geht keine Energie durch Wärme, Schall oder bleibende Verformung verloren, sodass die Körper mit derselben kinetischen Energie auseinanderfliegen, die sie vorher hatten.

Stöße zwischen harten Kugeln wie Billardkugeln sowie zwischen Atomen oder Elementarteilchen sind nahezu ideal elastisch. Die meisten Alltagsstöße sind teilweise unelastisch, doch der elastische Fall ist das saubere Grenzmodell.

Wie lauten die Formeln für die Endgeschwindigkeiten beim 1D-elastischen Stoß?

Für Körper der Massen m₁ und m₂ mit den Anfangsgeschwindigkeiten u₁ und u₂ gilt v₁ = ((m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂)/(m₁ + m₂) und v₂ = ((m₂ − m₁)u₂ + 2m₁u₁)/(m₁ + m₂). Sie ergeben sich, wenn man die Impulsgleichung m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ zusammen mit der Energiegleichung ½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² löst. Die Geschwindigkeiten sind vorzeichenbehaftet, halten Sie also eine konsistente positive Richtung ein.

Was passiert, wenn zwei gleiche Massen elastisch zusammenstoßen?

Für m₁ = m₂ vereinfachen sich die Formeln zu v₁ = u₂ und v₂ = u₁: Die Körper tauschen ihre Geschwindigkeiten aus. Eine bewegte Kugel, die auf eine identische ruhende Kugel trifft, bleibt stehen, während die zweite mit der ursprünglichen Geschwindigkeit davonrollt — ein Ergebnis, das man von der Newton-Wiege und vom Frontalstoß beim Billard kennt.

Worin unterscheidet sich ein elastischer von einem unelastischen Stoß?

Beide erhalten den Impuls, aber nur der elastische Stoß erhält zusätzlich die kinetische Energie.

Bei einem unelastischen Stoß wandelt sich ein Teil der kinetischen Energie in Wärme oder Verformung um, und bei einem vollkommen unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften und bewegen sich gemeinsam. Dieser Rechner setzt einen ideal elastischen Stoß voraus, sodass die ausgegebenen Werte für kinetische Energie vorher und nachher stets übereinstimmen sollten.

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