Zuletzt aktualisiert: 2026-07-13

Das dritte keplersche Gesetz

Das dritte keplersche Gesetz verknüpft die drei Größen, die eine Umlaufbahn beschreiben: den Abstand zum umkreisten Körper, dessen Masse und die Dauer eines Umlaufs. In Newtons Form lautet es $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ – das Quadrat der Umlaufzeit wächst mit der dritten Potenz des Abstands. Dieser Rechner löst diese eine Beziehung auf drei Weisen: die Umlaufzeit aus Abstand und Masse, den Abstand aus einer bekannten Umlaufzeit oder sogar die Masse des Zentralkörpers aus einer gemessenen Bahn.

Die Formel und ihre drei Formen

Dabei ist $a$ die große Halbachse (der mittlere Bahnabstand, bei einer Kreisbahn schlicht der Radius), $M$ die Masse des umkreisten Körpers und $G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ die Gravitationskonstante. Die Masse des umlaufenden Körpers taucht nie auf – ein Staubkorn und ein Mond im selben Abstand um denselben Stern brauchen genau gleich lang für einen Umlauf.

Die Abkürzung in Sonnensystem-Einheiten

Dass sich das dritte keplersche Gesetz für Planeten so leicht anwenden lässt, liegt an einer geschickten Wahl der Einheiten. Misst man den Abstand in astronomischen Einheiten (1 AE ist der Abstand Erde–Sonne), die Masse in Sonnenmassen (1 M☉ ist die Masse der Sonne) und die Zeit in Jahren, so wird der Klumpen $4\pi^2/(GM)$ zu $1/M$. Das Gesetz lautet dann:

mit $T$ in Jahren, $a$ in AE und $M$ in Sonnenmassen. Diese Form nutzt der Rechner intern, weshalb seine Standardwerte – die Erdbahn – ein sauberes Ergebnis liefern.

Rechenbeispiel: Erde um die Sonne

Für die Erde beträgt die große Halbachse $a = 1\ \text{AE}$ und die Zentralmasse $M = 1\ \text{M}_\odot$:

Dieselben Zahlen in vollständigen SI-Einheiten – $a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$, $M = 1.989\times10^{30}\ \text{kg}$ – ergeben über $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$ etwa $3.156\times10^{7}\ \text{s}$, also ein Jahr bis auf einen winzigen Bruchteil eines Prozents. Die AE-Form versteckt nur das Rechnen.

Rechenbeispiel: die äußeren Planeten

Die a³-Skalierung erklärt, warum das äußere Sonnensystem so langsam ist. Jupiter steht bei etwa $a = 5.20\ \text{AE}$, also

was Jupiters realem Umlauf von 11,86 Jahren entspricht. Neptun bei rund 30 AE braucht $\sqrt{30^3} \approx 164$ Jahre für eine Runde um die Sonne – ein Neptunjahr ist länger, als der Planet der Wissenschaft überhaupt bekannt ist.

Einen Stern wiegen

Umgekehrt ist das dritte keplersche Gesetz eines der wichtigsten Werkzeuge der Astronomie: Es misst eine Masse, die man nie auf eine Waage legen kann. Sieht man einen Begleiter umlaufen – einen Planeten um einen Stern, einen Stern um ein Schwarzes Loch – und misst dessen Umlaufzeit und große Halbachse, so liefert $M = 4\pi^2 a^3/(GT^2)$ die Masse des umkreisten Objekts. So wurden die Masse der Sonne, die von Wirtssternen von Exoplaneten und die des supermassereichen Schwarzen Lochs im Zentrum der Milchstraße bestimmt.

Annahmen und Grenzen

Das hier verwendete Gesetz setzt voraus, dass ein Körper weit massereicher ist als der andere, sodass der Zentralkörper praktisch ruht, während der kleinere ihn umkreist. Bei zwei vergleichbaren Massen – etwa einem Doppelstern – ist das $M$ in der Formel die Summe beider Massen, und beide Körper umlaufen ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Das Ergebnis ist zudem der ideale Zweikörperwert: Es ignoriert die Anziehung anderer Planeten, die leichte Abplattung realer Körper und relativistische Effekte, die alle über lange Zeiträume kleine, langsame Abweichungen echter Bahnen verursachen.