Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Radioaktiver Zerfall

Radioaktiver Zerfall ist der spontane Zerfall instabiler Atomkerne. Jeder Kern zerfällt zu einem zufälligen Zeitpunkt, aber mit fester Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, sodass eine große Ansammlung von Kernen auf glatte, vorhersagbare Weise ausdünnt. Dieses kollektive Verhalten beschreibt das exponentielle Zerfallsgesetz:

Dieser Rechner nimmt die Anfangsmenge $N_0$, die Halbwertszeit $t_{1/2}$ und die verstrichene Zeit $t$ und liefert die verbleibende Menge $N$, die Zerfallskonstante $\lambda$, den verbleibenden Anteil und die Zahl der vergangenen Halbwertszeiten.

Wie das Modell funktioniert

Zwei Konstanten beschreiben denselben Zerfall in unterschiedlicher Sprache. Die Halbwertszeit $t_{1/2}$ ist die Zeit, in der die Hälfte der Probe verschwindet. Die Zerfallskonstante $\lambda$ ist die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein einzelner Kern zerfällt. Setzt man $N/N_0 = \tfrac{1}{2}$ in das exponentielle Gesetz ein, ergibt sich ihr Zusammenhang:

Da eine Halbwertszeit stets das Verbleibende halbiert, lässt sich das Gesetz in einer Form schreiben, die das Halbieren sichtbar macht. Mit $n = t / t_{1/2}$ vergangenen Halbwertszeiten:

Beide Formen sind identisch. Das Exponential $e^{-\lambda t}$ behandelt jede verstrichene Zeit glatt, während die Form $(\tfrac{1}{2})^{n}$ leichter abzulesen ist, wenn $n$ eine ganze Zahl ist.

Formel

Der verbleibende Anteil hängt nur von der Zahl der Halbwertszeiten $n$ ab, nie von der Ausgangsmenge – deshalb ist ein Prozentsatz die übertragbarste Art, ihn anzugeben.

Rechenbeispiel

Eine Probe beginnt mit $N_0 = 1000$ Atomen eines Isotops mit der Halbwertszeit $t_{1/2} = 10$ Jahre. Wie viel bleibt nach $t = 25$ Jahren?

Schritt 1 — Zerfallskonstante:

Schritt 2 — Vergangene Halbwertszeiten:

Schritt 3 — Verbleibende Menge:

Schritt 4 — Verbleibender Anteil:

Nach 25 Jahren sind noch etwa 177 der ursprünglichen 1000 Atome nicht zerfallen.

Verbleibender Anteil nach ganzen Halbwertszeiten

Aktivität: die Zerfallsrate

Die Aktivität einer Probe ist die Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit, $A = \lambda N$. Sie wird in Becquerel (1 Bq = 1 Zerfall pro Sekunde) oder Curie (1 Ci = 3,7 × 10¹⁰ Bq) gemessen. Da die Aktivität proportional zur Zahl der verbleibenden Kerne ist, folgt sie derselben Exponentialkurve mit derselben Halbwertszeit: Eine Quelle mit halber Ausgangsaktivität ist genau eine Halbwertszeit alt, unabhängig vom Isotop.

Praktische Bedeutung

Das Zerfallsgesetz ist die Grundlage der radiometrischen Datierung. Bei der Radiokohlenstoffdatierung nimmt eine einst lebende Probe beim Tod kein Kohlenstoff-14 mehr auf; dieses zerfällt dann mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Misst man den verbleibenden Anteil und löst $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ nach $t$, erhält man das Alter – eine Probe mit 25 % ihres Kohlenstoff-14 hat zwei Halbwertszeiten durchlaufen, also etwa 11 460 Jahre. Dieselbe Mathematik legt Dosierpläne für medizinische Isotope fest, bestimmt Lagerzeiten für Atommüll und kalibriert die Tiefzeit-Uhren der Geologie mithilfe von Uran- und Kaliumisotopen.

Grenze: einzelner Zerfallsweg, große Proben

Das Exponentialgesetz setzt eine einzige, konstante Zerfallskonstante und eine Probe voraus, die groß genug für statistische Mittelung ist. Es verfolgt für sich genommen keine Zerfallsreihe, bei der das Produkt eines Zerfalls selbst radioaktiv ist und den Verlust teilweise ausgleicht; solche Fälle erfordern die gekoppelten Bateman-Gleichungen. Für ein einzelnes Isotop, das zu einem stabilen Produkt zerfällt, und für Probengrößen weit über einer Handvoll Atome ist die obige Formel exakt.