Dernière mise à jour : 2026-06-06

Définition du tronc de pyramide

Un tronc de pyramide — également appelé pyramide tronquée — est le solide que l'on obtient en sectionnant une pyramide par un plan parallèle à sa base. Il comporte deux faces polygonales parallèles : une grande base d'aire A₁ et une petite base d'aire A₂, réunies par des faces latérales trapézoïdales, et une hauteur h mesurée perpendiculairement entre les deux plans.

Contrairement au tronc de cône, dont les bases sont toujours circulaires, le tronc de pyramide accepte toute forme polygonale de base : carrée, rectangulaire, triangulaire, hexagonale ou autre, à condition que les deux bases soient semblables (mêmes proportions, échelles différentes).

Formule

Le volume d'un tronc de pyramide est donné par la formule prismatoïdale :

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

où A₁ est l'aire de la grande base, A₂ celle de la petite base et h la hauteur perpendiculaire entre les deux bases.

Les trois termes — A₁, A₂ et √(A₁A₂) — représentent respectivement la grande base, la petite base et leur moyenne géométrique, chacun pondéré par h/3.

Origine de la formule à trois termes

La démonstration repose sur la construction par solides semblables. Soit H la hauteur totale de la grande pyramide, mesurée depuis la grande base jusqu'au sommet, et h la hauteur du tronc. La petite pyramide retirée au sommet a une hauteur H − h et une aire de base A₂. Par la loi de mise à l'échelle des solides semblables, les aires varient comme le carré du facteur linéaire :

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

En résolvant pour H et en substituant dans la différence des volumes :

$V = \frac{A_1 H}{3} - \frac{A_2 (H - h)}{3}$

Après élimination algébrique de H et simplification, l'expression se réduit exactement à la forme à trois termes ci-dessus. La moyenne géométrique √(A₁A₂) apparaît car elle correspond à l'aire de la section transversale intermédiaire à mi-hauteur lorsque la pyramide est prolongée jusqu'au sommet.

Cas limites

Deux cas dégénérés servent de vérification pour tout calcul de tronc.

Pyramide complète (A₂ = 0) : la formule devient V = A₁·h/3, la formule classique du volume d'une pyramide. Le terme de moyenne géométrique disparaît.

Prisme (A₁ = A₂ = A) : la formule devient V = (h/3)(A + A + A) = A·h, la formule classique du volume d'un prisme. Un tronc dont les deux bases ont la même aire est donc simplement un prisme — vérification cohérente.

Exemple de calcul

Un bac à fleurs en béton possède une base carrée inférieure de 30 cm × 30 cm et une ouverture carrée supérieure de 20 cm × 20 cm, pour une hauteur de 25 cm.

• A₁ = 30 × 30 = 900 cm²
• A₂ = 20 × 20 = 400 cm²
• $\sqrt{A_1 \cdot A_2} = \sqrt{900 \times 400} = \sqrt{360\,000} = 600$ cm²
• $V = \dfrac{25}{3}(900 + 400 + 600) = \dfrac{25}{3} \times 1\,900 \approx 15\,833$ cm³ ≈ 15,8 litres

Le bac contient environ 15,8 litres de terre — soit à peu près le contenu d'un sac de terreau standard de 15 litres.

Saisie directe des aires de base

Ce calculateur accepte les aires de base directement plutôt que les dimensions latérales individuelles. Cette approche rend la formule universelle, quelle que soit la forme de la base : il suffit de saisir l'aire d'un tronc hexagonal, triangulaire ou de tout autre polygone, sans nécessiter de formule spécifique à chaque cas. Pour un tronc à base carrée de côté s, saisir A = s². Pour un hexagone régulier de côté a, saisir A = (3√3/2)a².

Calculateurs associés

• Calculateur de Pyramide — volume, aires et apothème d'une pyramide complète
• Calculateur de tronc de cône : volume et surfaces — volume et surfaces d'un tronc de cône
• Calculateur de Parallélépipède Rectangle — volume et surface d'un pavé droit (cas particulier A₁ = A₂)