Calculateur de la méthode de Simpson
Données
| Borne inférieure | 0 |
|---|---|
| Borne supérieure | 1 |
| Sous-intervalles (pair) | 4 |
| Valeurs de la fonction | 1, 0.94, 0.78, 0.64, 0.5 |
Calculateur de la méthode de Simpson
Approche une intégrale définie par la méthode de Simpson 1/3 à partir de valeurs échantillonnées de la fonction. Saisissez les bornes, un nombre pair de sous-intervalles et les valeurs f(x₀)…f(xₙ) pour obtenir l’estimation parabolique de l’aire et le pas.
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La méthode de Simpson
La méthode de Simpson estime une intégrale définie en remplaçant la courbe par des paraboles plutôt que par des segments de droite. Chaque paire de bandes voisines est ajustée par une parabole passant par trois points, et l’intégrale est approchée par l’aire totale sous ces paraboles. Comme une parabole suit la courbure qu’une corde droite manque, la méthode de Simpson est généralement bien plus précise que celle des trapèzes pour le même effort d’échantillonnage.
Découpez l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles égaux de largeur h = (b − a) / n, avec n pair. Cela crée n + 1 points de grille x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Échantillonner la fonction en chaque point donne les valeurs f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), et l’estimation est :
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]
Ce calculateur travaille à partir de valeurs échantillonnées de la fonction et non d’une formule saisie : vous fournissez f aux n + 1 points régulièrement espacés, exactement la situation lorsque les données proviennent de mesures ou d’un tableau.
Pourquoi les poids valent 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1
Prenez un bloc de trois points [x₀, x₁, x₂] d’espacement h. L’unique parabole passant par ces points, intégrée exactement sur le bloc, donne
(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)
le point milieu du bloc porte donc le poids 4 et les deux extrémités le poids 1. En reliant des blocs consécutifs — [x₀, x₁, x₂], [x₂, x₃, x₄], etc. —, chaque point milieu conserve son poids 4, tandis que chaque point frontière partagé appartient à deux blocs et prend le poids 1 + 1 = 2. Les deux extrémités extérieures appartiennent à un seul bloc et restent à 1. En regroupant les termes, on obtient le motif 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, tous multipliés par h/3. C’est précisément cet appariement des blocs qui impose que n soit pair.
Exemple résolu
Estimez ∫₀¹ x² dx avec n = 4 sous-intervalles. Le pas est h = (1 − 0) / 4 = 0,25 et les points de grille sont 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. Les valeurs échantillonnées de x² sont :
| x | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 0 | 0,0625 | 0,25 | 0,5625 | 1 |
Appliquez la règle avec les poids 1, 4, 2, 4, 1 :
∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 4(0,0625) + 2(0,25) + 4(0,5625) + 1] ∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 0,25 + 0,5 + 2,25 + 1] = (0,25/3)·4 = 1/3
Le résultat est exactement 1/3, la vraie valeur de l’intégrale. Ce n’est pas un hasard : la méthode de Simpson intègre exactement tout polynôme jusqu’au degré trois, si bien qu’une parabole comme x² est captée sans erreur, quel que soit le nombre de bandes.
Comportement de l’erreur
La méthode de Simpson est d’ordre quatre : diviser h par deux réduit l’erreur d’un facteur d’environ seize. Pour une fonction à quatrième dérivée continue, l’erreur sur [a, b] est
E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)
pour un ξ de l’intervalle. Deux conséquences en découlent :
- Comme l’erreur dépend de la quatrième dérivée, tout polynôme de degré trois ou moins est intégré exactement — sa quatrième dérivée est nulle.
- Pour les courbes régulières, le facteur h⁴ fait chuter l’erreur très vite, si bien qu’un nombre modeste de bandes suffit souvent pour une grande précision.
Méthode de Simpson contre méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes relie les points par des segments de droite, son erreur est donc proportionnelle à h² (ordre deux). Celle de Simpson ajuste des paraboles et atteint h⁴ (ordre quatre), convergeant bien plus vite à nombre de points égal. Les compromis :
- La méthode de Simpson exige un nombre pair de sous-intervalles, celle des trapèzes fonctionne avec tout n.
- Pour des données bruitées ou irrégulières, forcer des paraboles peut amplifier le bruit ; la méthode des trapèzes y est parfois plus robuste.
Règle pratique : choisissez la méthode de Simpson lorsque la fonction est régulière et que vous voulez une grande précision au même effort ; utilisez celle des trapèzes pour des estimations rapides, des données bruitées ou lorsque n doit être impair.
Notes pratiques
- Uniquement des sous-intervalles pairs. La règle de Simpson 1/3 apparie les bandes, donc n doit être pair. Le calculateur signale un n impair.
- Accordez le nombre. Avec n sous-intervalles, vous devez fournir exactement n + 1 valeurs, une par point de grille. Le calculateur signale un écart pour que l’espacement reste uniforme.
- Gardez l’ordre. Listez les valeurs de x₀ = a à xₙ = b. Les points intérieurs d’indice impair et pair sont pondérés différemment, l’ordre compte.
- Bornes inversées. Si a est supérieur à b, le pas est négatif et le résultat change de signe — conformément à la convention selon laquelle échanger les bornes d’une intégrale la rend négative.
- Espacement égal seulement. Il s’agit de la méthode de Simpson sur grille uniforme. Des données à espacement inégal nécessitent une formule de quadrature plus générale.
Calculateurs associés
- Calcul d'intégrale définie de polynôme — intégrale exacte d’un polynôme par le théorème fondamental de l’analyse
- Calculatrice de dérivée de polynôme — dérivée numérique en un point
- Calculatrice de Suite Arithmétique — termes et sommes de valeurs régulièrement espacées
Questions fréquentes (FAQ)
Combien de valeurs de la fonction dois-je saisir ?
Découper l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles crée n + 1 points de grille : x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Vous saisissez la valeur de la fonction en chacun de ces points, donc n sous-intervalles exigent n + 1 valeurs.
Comme la méthode de Simpson regroupe les bandes par paires, n doit être pair : par exemple, 4 sous-intervalles sur [0, 1] utilisent les points 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1, soit cinq valeurs. Si le nombre de valeurs et de sous-intervalles ne concorde pas, le calculateur le signale afin que l’espacement reste régulier.
Pourquoi les poids alternent-ils 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1 ?
La méthode de Simpson ajuste une parabole sur chaque bloc de trois points consécutifs et intègre cette parabole de façon exacte. Sur un bloc [x₀, x₂], l’aire vaut (h/3)(f₀ + 4f₁ + f₂) : le point milieu de la parabole porte le poids 4 et les deux extrémités le poids 1.
Lorsqu’on relie des blocs voisins, chaque point frontière partagé appartient à deux paraboles, de sorte que ses poids s’additionnent à 2, tandis que chaque point milieu conserve son poids 4. Les deux extrémités extérieures appartiennent à un seul bloc et restent à 1. En regroupant les termes, on obtient le motif connu 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, tous multipliés par h/3.
Quelle précision la méthode de Simpson offre-t-elle face à celle des trapèzes ?
La méthode de Simpson approche la courbe par des paraboles plutôt que par des segments de droite ; son erreur décroît proportionnellement à h⁴ (ordre quatre), tandis que la méthode des trapèzes n’est que d’ordre deux (erreur proportionnelle à h²). Pour des fonctions régulières, Simpson est donc bien plus précise à nombre de points égal, et elle est exacte pour tout polynôme jusqu’au degré trois.
La contrepartie est que la méthode de Simpson exige un nombre pair de sous-intervalles, alors que celle des trapèzes fonctionne avec tout n. Pour des données bruitées ou irrégulières, forcer des paraboles peut amplifier le bruit, si bien que la méthode des trapèzes est parfois le choix le plus sûr.
Que se passe-t-il si la borne inférieure est plus grande que la borne supérieure ?
Si a est supérieur à b, le pas h = (b − a) / n devient négatif, ce qui inverse le signe du résultat — conformément à la convention selon laquelle échanger les bornes d’une intégrale la rend négative. La valeur absolue de l’estimation reste identique. Listez les valeurs de la fonction dans l’ordre, de x₀ = a à xₙ = b, pour que l’appariement avec les points de la grille reste correct.
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