Dernière mise à jour : 2026-07-01

La méthode des trapèzes

La méthode des trapèzes estime une intégrale définie en remplaçant la courbe entre les points échantillonnés par des segments de droite. Chaque bande devient un trapèze, et l’intégrale est approchée par l’aire totale de ces trapèzes.

En découpant l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles de largeur égale h = (b − a) / n, on obtient n + 1 points de grille x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. En évaluant la fonction en chaque point, on a les valeurs f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), et l’estimation s’écrit :

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Ce calculateur s’appuie sur des valeurs échantillonnées de la fonction plutôt que sur une formule saisie : vous fournissez f aux n + 1 points régulièrement espacés, exactement la situation rencontrée lorsque les données viennent de mesures ou d’un tableau.

Pourquoi les poids valent 1, 2, 2, …, 2, 1

Un seul sous-intervalle [xᵢ, xᵢ₊₁] forme un trapèze de côtés parallèles f(xᵢ) et f(xᵢ₊₁) et de largeur h. Son aire est (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)). En additionnant les aires des n trapèzes, chaque point intérieur est partagé par deux trapèzes voisins et apparaît donc deux fois, tandis que les deux extrémités n’apparaissent qu’une fois. D’où le motif de poids 1, 2, 2, …, 2, 1, tous multipliés par h/2. Une réécriture pratique, utilisée en interne, est

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ],

qui additionne chaque valeur deux fois puis retranche les extrémités une fois.

Exemple résolu

Estimons ∫₀¹ x² dx avec n = 4 sous-intervalles. Le pas est h = (1 − 0) / 4 = 0,25 et les points de grille sont 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. Les valeurs de x² sont :

En appliquant la règle :

∫ ≈ (0,25/2)·[0 + 2(0,0625) + 2(0,25) + 2(0,5625) + 1] ∫ ≈ 0,125·[0 + 0,125 + 0,5 + 1,125 + 1] = 0,125·2,75 = 0,34375

La valeur exacte est 1/3 ≈ 0,33333 ; quatre bandes tombent déjà à environ 0,01 près. En affinant à n = 10 on obtient 0,335 et à n = 100, 0,333325 — l’erreur décroît à peu près proportionnellement à h².

Comportement de l’erreur

La méthode des trapèzes est d’ordre deux : diviser h par deux réduit l’erreur d’environ un facteur quatre. Pour une fonction deux fois dérivable, l’erreur sur [a, b] vaut

E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)

pour un certain ξ de l’intervalle. Le signe de la dérivée seconde entraîne deux conséquences :

• Sur une courbe convexe (f″ > 0), les cordes passent au-dessus de la courbe : la règle surestime l’intégrale.
• Sur une courbe concave (f″ < 0), les cordes passent en dessous : la règle la sous-estime.

Pour une droite f″ = 0, donc la méthode des trapèzes est exacte — chaque bande est un vrai trapèze, sans courbure manquée.

Méthode des trapèzes contre méthode de Simpson

La méthode de Simpson ajuste une parabole sur chaque paire de sous-intervalles au lieu d’un segment de droite. Son erreur est proportionnelle à h⁴, si bien que pour les fonctions régulières elle converge bien plus vite à nombre de points égal. En contrepartie, Simpson exige un nombre pair de sous-intervalles, alors que les trapèzes acceptent n’importe quel n. La méthode des trapèzes est aussi plus robuste face aux données bruitées ou irrégulières, où forcer une parabole sur des points dispersés peut amplifier le bruit.

Règle pratique : trapèzes pour les estimations rapides, les données tabulées ou un n impair ; Simpson lorsque la fonction est régulière et que vous visez une grande précision pour le même échantillonnage.

Notes pratiques

• Faites correspondre le compte. Avec n sous-intervalles, fournissez exactement n + 1 valeurs, une par point de grille. Le calculateur signale tout écart pour conserver un espacement uniforme.
• Respectez l’ordre. Listez les valeurs de x₀ = a à xₙ = b. Les extrémités sont pondérées différemment des points intérieurs, donc l’ordre compte.
• Bornes inversées. Si a est supérieur à b, le pas devient négatif et le résultat change de signe — conformément à la convention d’échange des bornes d’intégration.
• Espacement uniforme uniquement. Il s’agit de la méthode des trapèzes sur grille uniforme. Des données inégalement espacées nécessitent la formule générale avec des largeurs propres à chaque bande.

Calculateurs liés

• Calcul d'intégrale définie de polynôme — intégrale exacte d’un polynôme via le théorème fondamental de l’analyse
• Calculatrice de dérivée de polynôme — dérivée numérique en un point unique
• Calculatrice de Suite Arithmétique — termes et sommes de valeurs régulièrement espacées