Dernière mise à jour : 2026-06-06

Calculer la valeur d'un polynôme en un point

Un polynôme P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ associe un réel à toute valeur de x. L'évaluation directe — calculer chaque puissance de x, la multiplier par le coefficient correspondant, puis sommer — exige O(n²) multiplications pour un polynôme de degré n. La méthode de Horner ramène ce coût à exactement n multiplications et n additions en réécrivant le même polynôme sous forme d'un produit emboîté :

$P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0$

Cet algorithme est utilisé en interne par tous les systèmes de calcul formel et les bibliothèques numériques modernes.

Cette calculatrice accepte les coefficients du polynôme du degré le plus élevé au degré constant (par exemple 1, -3, 2, 5 pour x³ − 3x² + 2x + 5) ainsi qu'une valeur de x, puis restitue le degré, le polynôme mis en forme et P(x), accompagnés d'un graphe interactif centré sur le point d'évaluation.

La méthode de Horner pas à pas

L'algorithme maintient un accumulateur courant, initialisé au coefficient dominant aₙ. Pour chaque coefficient suivant, il effectue une opération « multiplier puis additionner » :

$r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad \text{pour } k = 1, 2, \ldots, n$

Au bout de n étapes, l'accumulateur contient P(x). Cette complexité est optimale : aucun algorithme d'évaluation de polynôme ne peut faire moins de n multiplications.

Exemple numérique : P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 en x = 2 (coefficients : 1, -3, 2, 5)

On obtient P(2) = 5 — à vérifier directement : 8 − 12 + 4 + 5 = 5.

Pourquoi la méthode de Horner est-elle plus efficace ?

L'évaluation naïve calcule chaque puissance séparément : x² = x·x, x³ = x²·x, etc. Pour un polynôme de degré n, cela nécessite jusqu'à n(n+1)/2 multiplications avant la somme finale. Le schéma de Horner réutilise chaque produit intermédiaire, réduisant le nombre d'opérations à exactement n multiplications et n additions. Pour n = 20, on passe de 210 multiplications à 20 — soit plus d'un facteur 10.

La méthode de Horner est également plus stable numériquement que l'approche naïve : le nombre réduit de valeurs intermédiaires de grande amplitude limite les phénomènes d'annulation catastrophique lorsque les coefficients diffèrent fortement en magnitude.

Saisie des coefficients

Listez les coefficients du terme de plus haut degré jusqu'au terme constant, séparés par des virgules. Incluez un 0 pour toute puissance absente — omettre des zéros décale tous les coefficients suivants vers le mauvais degré.

Le degré est toujours égal au nombre de valeurs saisies moins un. Une seule valeur correspond à un polynôme de degré 0 (polynôme constant).

Applications concrètes

L'évaluation de polynômes intervient dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées et de l'informatique :

• Infographie. Les courbes de Bézier et les splines sont des polynômes paramétriques ; le rendu d'un seul pixel sur une courbe de Bézier cubique nécessite d'évaluer un polynôme de degré 3 des centaines de fois par image.
• Traitement du signal. Les filtres RIF (à réponse impulsionnelle finie) sont des convolutions évaluées à chaque échantillon par multiplication de polynômes dans le domaine en Z.
• Recherche de racines. La méthode de Newton pour P(x) = 0 évalue à chaque itération P(x₀) et P′(x₀) — les deux étant obtenables par un unique passage de Horner.
• Fonctions de hachage et codes de contrôle. Les codes CRC (contrôle de redondance cyclique) évaluent un polynôme binaire modulo un polynôme générateur, ce qui se réduit à une boucle de Horner sur GF(2).
• Automatique. Les fonctions de transfert sont des fractions rationnelles en s (Laplace) ou en z (transformée en Z) ; l'analyse de stabilité exige d'évaluer le polynôme caractéristique sur l'axe imaginaire.

Lien avec la division synthétique

La méthode de Horner est algébriquement identique à la division synthétique — l'algorithme abrégé de division d'un polynôme par un facteur linéaire (x − c). Le reste de cette division est précisément P(c), et le quotient Q(x) vérifie P(x) = (x − c)Q(x) + P(c). Un seul passage de Horner produit donc simultanément P(c) (le reste) et les coefficients de Q(x). En évaluant Q(c), on obtient P′(c), ce qui est à la base de l'algorithme de Newton pour la recherche de racines.

Pour aller plus loin

Pour calculer P′(x) en même temps que P(x), utilisez la Calculatrice de dérivée de polynôme. Pour intégrer le polynôme, utilisez la Calcul d'intégrale définie de polynôme. Pour résoudre P(x) = 0, utilisez la Résolution d'équations du second degré (degré 2) ou la Résolution d'équation du troisième degré (degré 3).