Betragsfunktion Gleichung lösen (|ax + b| = c)

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Was ist eine Betragsgleichung?

Eine Betragsgleichung der Form $|ax + b| = c$ fragt nach allen $x$-Werten, für die der Ausdruck $ax + b$ den Abstand $c$ vom Nullpunkt hat. Dieser Rechner deckt alle drei möglichen Fälle ab: zwei Lösungen, eine Lösung und keine reelle Lösung.

Lösungsverfahren

Der entscheidende Gedanke: $|Ausdruck| = c$ bedeutet, der Ausdruck ist gleich $c$ oder gleich $-c$, denn beide Zahlen sind gleichweit vom Nullpunkt entfernt. Aus einer Betragsgleichung werden so zwei gewöhnliche lineare Gleichungen:

$$ax + b = c \quad \text{und} \quad ax + b = -c$$

Jede dieser Gleichungen nach $x$ aufgelöst (für $a \neq 0$):

$$x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}$$

Fallunterscheidung

Fall 1: c > 0 — zwei Lösungen

Ist $c$ positiv, liefern die beiden Gleichungen oben zwei verschiedene $x$-Werte, die beide die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Rechenbeispiel: Löse $|2x - 3| = 7$.

Ablesen: $a = 2$, $b = -3$, $c = 7$.

$$x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Probe: $|2 \cdot 5 - 3| = |7| = 7$ ✓ und $|2 \cdot (-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

Fall 2: c = 0 — eine Lösung

Ist $c = 0$, vereinfachen sich beide Gleichungen zu $ax + b = 0$. Beide Formeln liefern dasselbe Ergebnis:

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}$$

Beispiel: $|2x - 4| = 0 \Rightarrow x = 4 / 2 = 2$.

Fall 3: c < 0 — keine reelle Lösung

Der Betrag ist stets nicht-negativ: $|ax + b| \geq 0$ für alle reellen $x$. Ein negatives $c$ ist daher nie erreichbar — die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Beispiel: $|2x - 3| = -5$ ist unlösbar.

Geometrische Deutung

Auf dem Zahlenstrahl misst $|u|$ den Abstand des Punktes $u$ vom Nullpunkt. Mit $u = ax + b$ lautet die Gleichung:

$$|ax + b| = c$$

Die Frage ist also: „Für welche $x$ trifft der Funktionswert $ax + b$ genau die Punkte, die $c$ Einheiten vom Nullpunkt entfernt liegen?" Da der Abstand symmetrisch ist, gibt es zwei solche Punkte ($+c$ und $-c$) und damit höchstens zwei $x$-Werte.

Dieses geometrische Bild erklärt auch unmittelbar, warum $c < 0$ keine Lösung liefert: Ein Abstand ist niemals negativ, es gibt also keinen solchen Punkt auf dem Zahlenstrahl.

Sonderfall: a = 0

Ist $a = 0$, wird aus der Gleichung $|b| = c$ — ein Ausdruck, der gar kein $x$ mehr enthält. Der Rechner wertet $a = 0$ als ungültige Eingabe, weil die Betragsgleichung keinen x-Term mehr besitzt und somit keine Gleichung in $x$ ist.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Warum kann eine Betragsgleichung zwei Lösungen haben?

|ax + b| = c bedeutet, dass der Ausdruck im Betrag entweder c oder −c ist, denn beide Werte haben denselben Betrag. Daraus entstehen zwei lineare Gleichungen — ax + b = c und ax + b = −c — die jeweils ein eigenes x liefern. Ist c > 0, sind beide Lösungen verschieden; ist c = 0, fallen die beiden Gleichungen zusammen und es gibt genau eine Lösung.

Was passiert, wenn c negativ ist?

Der Betrag ist stets ≥ 0, also kann |ax + b| niemals eine negative Zahl annehmen. Ist c < 0, hat die Gleichung |ax + b| = c keine reelle Lösung — es gibt kein x, das einen nicht-negativen Ausdruck auf einen negativen Wert abbildet.

Was bedeutet |x| anschaulich auf dem Zahlenstrahl?

Auf dem Zahlenstrahl gibt |x| den Abstand von x zum Nullpunkt an. Allgemeiner ist |ax + b| der Abstand des Punktes ax + b vom Nullpunkt. Die Gleichung |ax + b| = c fragt daher: „Für welche x liegt der Funktionswert ax + b genau c Einheiten vom Nullpunkt entfernt?" Die Antwort sind die beiden Punkte c und −c, woraus sich höchstens zwei x-Werte ergeben.

Was ist der Unterschied zu einer Betragsungleichung?

Eine Betragsgleichung (|ax + b| = c) sucht die genauen x-Werte, an denen der Ausdruck gleich c ist — das Ergebnis ist eine endliche Lösungsmenge. Eine Betragsungleichung (|ax + b| < c oder |ax + b| > c) sucht alle x, für die der Ausdruck kleiner oder größer als c ist — das Ergebnis ist ein Intervall oder eine Vereinigung von Strahlen.