Zuletzt aktualisiert: 2026-05-13

Zwei grundlegende Beziehungen zwischen ganzen Zahlen

Jedes Paar positiver ganzer Zahlen teilt zwei besondere Zahlen: die größte ganze Zahl, die beide ohne Rest teilt (der größte gemeinsame Teiler, GGT), und die kleinste ganze Zahl, die ein Vielfaches beider ist (das kleinste gemeinsame Vielfache, KGV). Zusammen beschreiben sie die arithmetische Beziehung zwischen zwei Zahlen.

Beispiel: 12 und 8.

• Die gemeinsamen Teiler von 12 und 8 sind 1, 2 und 4. Der größte ist 4.
• Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 8 sind 24, 48, 72, … Das kleinste ist 24.

GGT-Berechnung mit dem euklidischen Algorithmus

Die älteste — und in der Praxis immer noch schnellste — Methode zur Bestimmung des GGT ist der euklidische Algorithmus, der in Euklids Elementen um 300 v. Chr. beschrieben wurde. Die zentrale Eigenschaft lautet:

$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b)$

wobei $a \bmod b$ der Rest der Division $a \div b$ ist. Der Vorgang wird wiederholt, bis der Rest null beträgt; der letzte Rest, der nicht null ist, ist der GGT.

Beispiel: GGT(48, 18)

Schritt	$a$	$b$	$a \bmod b$
1	48	18	12
2	18	12	6
3	12	6	0

Der letzte nicht-null-Rest ist 6, also ist GGT(48, 18) = 6.

Die Anzahl der Schritte übersteigt niemals das Fünffache der Anzahl der Stellen der kleineren Zahl — der Algorithmus konvergiert daher auch bei großen Zahlen rasch.

Die GGT–KGV-Identität

Sobald der GGT bekannt ist, ergibt sich das KGV aus einer einzigen Formel:

$\text{KGV}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GGT}(a, b)}$

Diese Beziehung folgt aus dem Fundamentalsatz der Arithmetik. Wenn man jede Zahl als Produkt von Primpotenzen betrachtet, wählt der GGT den kleinsten Exponenten für jede Primzahl, das KGV den größten. Das Produkt beider ergibt stets $a \times b$.

Beispiel: KGV(12, 8)

$\text{GGT}(12, 8) = 4, \quad \text{KGV}(12, 8) = \frac{12 \times 8}{4} = 24$

Probe: $4 \times 24 = 96 = 12 \times 8$. ✓

Wo GGT und KGV gebraucht werden

Brüche kürzen

Um $\dfrac{a}{b}$ vollständig zu kürzen, dividiert man Zähler und Nenner durch $\text{GGT}(a, b)$. So wird $\dfrac{12}{8}$ zu $\dfrac{3}{2}$, weil $\text{GGT}(12, 8) = 4$.

Brüche addieren

Um $\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8}$ zu berechnen, braucht man den Hauptnenner — das ist $\text{KGV}(12, 8) = 24$:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}$

Zyklen und Perioden

Wiederholen sich zwei Ereignisse alle $a$ bzw. alle $b$ Tage, fallen sie nach $\text{KGV}(a, b)$ Tagen wieder zusammen. Das KGV taucht deshalb bei Zahnrad-Übersetzungen, Fliesenmusterperioden und Kalenderberechnungen auf.

Kryptografie

Der euklidische Algorithmus ist ein Kernbaustein der RSA-Verschlüsselung: Mit dem GGT wird überprüft, ob der gewählte Schlüsselexponent teilerfremd zur Eulerschen Phi-Funktion des Moduls ist.

Sonderfälle

• GGT(a, 0) = a für jedes positive $a$: der Basisfall des euklidischen Algorithmus, der sich direkt aus der Definition ergibt.
• Teilerfremde Zahlen: GGT = 1, KGV = a × b. Zum Beispiel GGT(7, 13) = 1, KGV(7, 13) = 91.
• Gleiche Zahlen: GGT(n, n) = n und KGV(n, n) = n.

Schnellreferenz

Eigenschaft	Formel
Euklidischer Algorithmus	$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b)$
KGV aus GGT	$\text{KGV}(a,b) = \dfrac{a \times b}{\text{GGT}(a,b)}$
Identität	$\text{GGT}(a,b) \times \text{KGV}(a,b) = a \times b$
Bruch kürzen	Zähler und Nenner durch GGT dividieren
Hauptnenner	KGV der beiden Nenner verwenden

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der größte gemeinsame Teiler?

Der größte gemeinsame Teiler (GGT) zweier ganzer Zahlen ist die größte positive ganze Zahl, die beide ohne Rest teilt. Zum Beispiel ist GGT(12, 8) = 4, weil 4 die größte Zahl ist, die sowohl 12 als auch 8 ganzzahlig teilt.

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?

Das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) zweier ganzer Zahlen ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch beide teilbar ist. Zum Beispiel ist KGV(12, 8) = 24, weil 24 die kleinste Zahl ist, die sowohl ein Vielfaches von 12 als auch von 8 ist.

Wie hängen GGT und KGV zusammen?

Für zwei beliebige positive ganze Zahlen a und b gilt: GGT(a, b) × KGV(a, b) = a × b. Das bedeutet, man kann eine Größe aus der anderen ableiten: KGV = a × b ÷ GGT. Wegen dieser Beziehung werden beide Werte häufig zusammen berechnet.