Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest fragt, ob zwei an denselben Personen gemessene kategoriale Variablen zusammenhängen oder unabhängig sind. Die Daten liegen in einer Kontingenztafel: Jede Zelle enthält die Anzahl der Beobachtungen, die in eine Kombination von Kategorien fallen — bei einer 2×2-Tafel zwei Kategorien je Variable. Der Test vergleicht die tatsächlich beobachteten Häufigkeiten mit den Häufigkeiten, die bei fehlendem Zusammenhang zu erwarten wären, und liefert eine Statistik, ihre Freiheitsgrade und einen p-Wert. Er ist das Standardwerkzeug für Fragen wie: Hängt eine Behandlung mit einem Ergebnis zusammen, hängt eine Vorliebe von der Gruppenzugehörigkeit ab, oder bewegen sich zwei Umfrageantworten gemeinsam?

Erwartete Häufigkeiten unter Unabhängigkeit

Sind zwei Variablen unabhängig, sollte der Stichprobenanteil in einer Zeile nicht davon abhängen, welche Spalte man betrachtet. Das legt fest, was jede Zelle enthalten sollte. Die erwartete Häufigkeit einer Zelle ist ihre Zeilensumme mal ihrer Spaltensumme, geteilt durch die Gesamtsumme:

$E_{ij} = \frac{(\text{Summe Zeile } i)\,(\text{Summe Spalte } j)}{N}$

wobei $N$ die Gesamtzahl der Beobachtungen ist. Das ist einfach der Anteil der Stichprobe in Zeile $i$ multipliziert mit dem Anteil in Spalte $j$, wieder auf $N$ hochskaliert. Entscheidend: Die erwarteten Häufigkeiten stammen aus den eigenen Rändern der Tafel — Sie geben sie nicht vor, was diesen Test vom Anpassungstest unterscheidet.

Die Statistik

Der Test fasst die Lücke zwischen Beobachtung und Erwartung mit der Pearson-Statistik zusammen:

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

summiert über jede Zelle, wobei $O$ eine beobachtete und $E$ ihre erwartete Häufigkeit ist. Jede quadrierte Abweichung wird durch die erwartete Häufigkeit geteilt, sodass eine Abweichung von zehn schwer wiegt, wenn nur fünf erwartet wurden, aber leicht, wenn fünftausend erwartet wurden. Die Summe ergibt eine einzige Zahl, die wächst, je stärker die Tafel von der Unabhängigkeit abweicht. Stimmen beobachtete und erwartete Häufigkeiten exakt überein, ist jeder Term null und $\chi^2 = 0$.

Für eine 2×2-Tafel fällt die ganze Summe auf eine kompakte algebraische Abkürzung zusammen. Beschriftet man die Zellen als

so gilt

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

Die vier Faktoren im Nenner sind die beiden Zeilensummen und die beiden Spaltensummen. Der Kreuzproduktterm $ad - bc$ misst, wie weit die Tafel von der Proportionalität abweicht: Er ist genau dann null, wenn die Zeilen proportional sind — der Fall vollständiger Unabhängigkeit.

Freiheitsgrade und der p-Wert

Die Statistik wird mit einer Chi-Quadrat-Verteilung verglichen, deren Form durch ihre Freiheitsgrade festgelegt ist. Für eine Kontingenztafel gilt

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

wobei $r$ die Zeilenzahl und $c$ die Spaltenzahl ist. Eine 2×2-Tafel hat daher stets einen Freiheitsgrad. Anschaulich: Sind Zeilen- und Spaltensummen festgelegt, bestimmt das Ausfüllen einer einzigen Zelle alle übrigen, sodass nur eine Zelle frei variieren kann.

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit im oberen Rand — die Chance, eine Statistik mindestens so groß wie die beobachtete zu sehen, wenn die beiden Variablen unabhängig wären. Der Test ist von Natur aus einseitig im oberen Rand: Nur große Werte von $\chi^2$ signalisieren einen Zusammenhang, während kleine Werte bedeuten, dass die Tafel nahe der Unabhängigkeit liegt. Vergleichen Sie den p-Wert mit einem Signifikanzniveau $\alpha$ (üblich sind fünf Prozent). Ist $p < \alpha$, ist die Abweichung von der Unabhängigkeit größer, als Stichprobenrauschen bequem erklärt, und Sie schließen auf einen Zusammenhang. Ist $p \ge \alpha$, sind die Daten mit Unabhängigkeit vereinbar — was nicht dasselbe ist wie ein Beweis, dass die Variablen unverbunden sind.

Rechenbeispiel

Angenommen, eine Klinik erfasst, ob Patienten unter zwei Behandlungen genesen:

Hier ist $a = 30$, $b = 10$, $c = 20$, $d = 40$ und $N = 100$. Mit der Abkürzung:

Bei einer 2×2-Tafel hat der Test einen Freiheitsgrad. Der obere p-Wert für $\chi^2 \approx 16.667$ bei einem Freiheitsgrad beträgt etwa $0.0000446$. Da $p \lt 0.01$, gibt es starke Belege, dass Genesung mit der Behandlung zusammenhängt: Patienten unter Behandlung A genasen weit häufiger, als Unabhängigkeit vorhersagen würde.

Voraussetzungen

Die Chi-Quadrat-Näherung beruht auf einigen Bedingungen. Die erwarteten Häufigkeiten sollten hinreichend groß sein — eine gängige Faustregel verlangt, dass jede erwartete Häufigkeit mindestens 5 beträgt. Bei einer 2×2-Tafel mit kleinen erwarteten Häufigkeiten wenden Sie die Yates-Kontinuitätskorrektur an oder wechseln zum exakten Test nach Fisher. Beobachtungen müssen unabhängig sein, jede Person einmal gezählt und genau einer Zelle zugeordnet; der Test gilt daher nicht für gepaarte oder wiederholte Messungen (dafür der McNemar-Test). Schließlich arbeitet der Test mit rohen Häufigkeiten, nicht mit Prozentwerten oder Anteilen: Wandeln Sie Raten vor der Eingabe in Häufigkeiten um.

Um eine kategoriale Variable mit einer festen hypothetischen Verteilung statt zwei Variablen miteinander zu vergleichen, siehe den Chi-Quadrat-Anpassungstest; um eine z-Statistik in eine Randwahrscheinlichkeit umzuwandeln, siehe p-Wert aus z-Wert.