Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Exponentialverteilung-Rechner

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Rate	0,5
Wert	3
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Obere Grenze	4

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f(t)

Mathematik

Exponentialverteilung-Rechner

Berechnet Dichte f(x), Verteilungsfunktion P(X≤x), Überschreitungswahrscheinlichkeit P(X>x), Intervallwahrscheinlichkeit P(a≤X≤b) sowie Erwartungswert, Varianz und Median aus der Rate λ.

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Dichte

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Zwischen a und b

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Varianz

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Verteilung

f(t)

Schritte

Wahrscheinlichkeitsdichte

\begin{aligned} f(x) &= \lambda e^{-\lambda x} \\ &= 0,5 \cdot e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}

P(X ≤ x)

\begin{aligned} P(X \le x) &= 1 - e^{-\lambda x} \\ &= 1 - e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}

P(X > x)

\begin{aligned} P(X > x) &= e^{-\lambda x} \\ &= e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}

P(a ≤ X ≤ b)

\begin{aligned} P(a \le X \le b) &= e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} \\ &= e^{-0,5 \cdot 1} - e^{-0,5 \cdot 4} \\ &= ? \end{aligned}

Erwartungswert

\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{\lambda} \\ &= \dfrac{1}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}

Varianz

\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1}{\lambda^2} \\ &= \dfrac{1}{0,5^2} \\ &= ? \end{aligned}

Median

\begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{\ln 2}{\lambda} \\ &= \dfrac{\ln 2}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}

Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wartezeit zwischen unabhängigen Ereignissen mit konstanter mittlerer Rate modelliert. Sie ist das stetige Pendant zur Poisson-Verteilung: Während Poisson zählt, wie viele Ereignisse in einem festen Intervall auftreten, beschreibt die Exponentialverteilung, wie lange man zwischen ihnen wartet. Sie tritt in der Zuverlässigkeitstechnik, der Warteschlangentheorie und der Ereigniszeitanalyse auf.

Formel

Für einen Ratenparameter λ > 0 und einen Wert x ≥ 0 lautet die Dichtefunktion (PDF):

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

Die Verteilungsfunktion (CDF) gibt die Wahrscheinlichkeit einer Wartezeit von höchstens x an:

P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}

Die Überlebensfunktion (Überschreitungswahrscheinlichkeit) ist ihr Komplement — die Wahrscheinlichkeit, nach x noch zu warten:

P(X > x) = e^{-\lambda x}

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit in ein Intervall [a, b] fällt, ist die Differenz der Überlebensfunktion an den Grenzen:

P(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

Erwartungswert, Varianz und Median sind kompakte Funktionen der Rate:

\mu = \frac{1}{\lambda}, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \text{Median} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Rechenbeispiel

Eine Support-Hotline erhält Anrufe mit einer mittleren Rate von λ = 0,5 Anrufen pro Minute, der mittlere Abstand beträgt also 1/0,5 = 2 Minuten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Anruf innerhalb von 3 Minuten eintrifft?

Mit der CDF und x = 3:

P(X \leq 3) = 1 - e^{-0,5 \times 3} = 1 - e^{-1,5} \approx 0,7769

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 77,7 %, dass der nächste Anruf innerhalb von 3 Minuten kommt. Die Chance, länger als 3 Minuten zu warten, ist das Komplement:

P(X > 3) = e^{-1,5} \approx 0,2231

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit zwischen 1 und 4 Minuten liegt, beträgt:

P(1 \leq X \leq 4) = e^{-0,5} - e^{-2} \approx 0,6065 - 0,1353 = 0,4712

Die Dichte bei x = 3 lautet:

f(3) = 0,5 \, e^{-1,5} \approx 0,1116

Herleitung der Formel

Die CDF folgt direkt aus der Integration der Dichte von 0 bis x:

P(X \leq x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}

Der Erwartungswert ergibt sich aus der Integration von x gegen die Dichte:

\mu = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\, dx = \frac{1}{\lambda}

Der Median löst P(X ≤ m) = 0,5:

1 - e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; m = \frac{\ln 2}{\lambda}

Da ln 2 ≈ 0,693 < 1 ist, liegt der Median stets unter dem Erwartungswert 1/λ, was die Rechtsschiefe der Verteilung widerspiegelt.

Die Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige Verteilung, die gedächtnislos ist:

P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

Bereits s Zeiteinheiten gewartet zu haben, gibt keinerlei Auskunft über die verbleibende Wartezeit. Deshalb eignet sich das Modell für Komponenten mit konstanter Ausfallrate — Teile, die im statistischen Sinn nicht „altern" — und begründet die Markov-Eigenschaft zeitkontinuierlicher Prozesse.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Poisson: Folgen Ereignisse einem Poisson-Prozess mit Rate λ, ist die Anzahl in einem festen Intervall Poisson(λ), die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen Exponential(λ). Zählen nutzt Poisson; das Messen der Abstände nutzt die Exponentialverteilung.
Geometrisch: Die geometrische Verteilung modelliert die Anzahl diskreter Versuche bis zum ersten Erfolg. Die Exponentialverteilung ist ihr zeitstetiges Analogon.
Gamma: Die Summe von k unabhängigen Exponential(λ)-Wartezeiten folgt einer Gamma(k, λ)-Verteilung — die Zeit bis zum k-ten Ereignis eines Poisson-Prozesses.
Weibull: Die Exponentialverteilung ist der Spezialfall der Weibull-Verteilung mit Formparameter 1 und entspricht einer konstanten Ausfallrate.

Praktische Anwendungen

Zuverlässigkeitstechnik: Modellierung der Zeit bis zum Ausfall von Komponenten mit konstanter Ausfallrate, Grundlage der Nutzungsphase der Badewannenkurve.
Warteschlangentheorie: Darstellung von Zwischenankunfts- und Bedienzeiten in M/M/1- und verwandten Modellen.
Ereigniszeitanalyse: Basis-Hazardmodell für Zeit-bis-Ereignis-Daten in Medizin und Aktuarwesen.
Physik: Beschreibung der Zeit zwischen radioaktiven Zerfällen, bei denen jeder Kern unabhängig mit fester Rate zerfällt.
Telekommunikation: Modellierung der Leerlaufzeit zwischen Paketankünften in der Netzwerkanalyse.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann ist die Exponentialverteilung geeignet?

Verwenden Sie die Exponentialverteilung, um die Wartezeit zwischen unabhängigen Ereignissen zu modellieren, die mit konstanter mittlerer Rate auftreten. Typische Beispiele sind die Zeit bis zum nächsten Kunden, die Lebensdauer einer Komponente mit konstanter Ausfallrate und der Abstand zwischen radioaktiven Zerfällen. Sie ist das stetige Gegenstück zur geometrischen Verteilung und der Wartezeitpartner der Poisson-Verteilung.

Was ist die Gedächtnislosigkeit?

Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige Verteilung, die gedächtnislos ist: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Bereits s Zeiteinheiten gewartet zu haben, gibt keinerlei Auskunft darüber, wie lange man noch warten muss — die verbleibende Wartezeit hat dieselbe Verteilung wie ein Neubeginn. Deshalb modelliert sie Systeme ohne Verschleiß, etwa eine Komponente, deren Ausfallrate nicht mit dem Alter steigt.

Was ist der Unterschied zwischen der Rate λ und dem Erwartungswert?

Die Rate λ zählt, wie viele Ereignisse pro Zeiteinheit auftreten, während der Erwartungswert 1/λ die mittlere Zeit zwischen Ereignissen misst. Sie sind Kehrwerte: Bei λ = 2 Ereignissen pro Stunde beträgt der mittlere Abstand 1/2 = 0,5 Stunden. Manche Quellen parametrisieren die Exponentialverteilung über den Erwartungswert (oft Skala genannt) statt über die Rate; dieser Rechner verwendet die Rate λ.

Wie hängt die Exponentialverteilung mit der Poisson-Verteilung zusammen?

Beide beschreiben denselben Prozess aus zwei Perspektiven. Treten Ereignisse gemäß einem Poisson-Prozess mit Rate λ auf, so folgt die Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall einer Poisson-Verteilung, und die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen folgt einer Exponentialverteilung mit derselben Rate λ. Das Zählen der Ereignisse nutzt Poisson; das Messen der Abstände nutzt die Exponentialverteilung.

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