Zuletzt aktualisiert: 2026-05-26

Das bestimmte Integral

Ein bestimmtes Integral misst den vorzeichenbehafteten Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der x-Achse über einem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$:

$\int_a^b P(x)\,dx$

„Vorzeichenbehaftet" bedeutet: Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ. Liegt die Kurve auf einem Teil des Intervalls unter null, wird dieser Anteil vom Gesamtresultat abgezogen. Das Ergebnis ist eine einzelne reelle Zahl, keine Funktion.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Die Grundlage der praktischen Integralrechnung bildet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Dabei ist $F(x)$ eine beliebige Stammfunktion von $P(x)$, also eine Funktion mit $F'(x) = P(x)$.

Statt unendlich viele infinitesimale Rechtecke aufzusummieren, sind nur drei Schritte nötig:

1. Stammfunktion $F(x)$ bestimmen.
2. $F$ an beiden Grenzen auswerten.
3. Differenz bilden.

Potenzregel der Integration

Für Polynome liefert die Potenzregel die Stammfunktion jedes einzelnen Glieds:

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

Sie wird gliedweise auf das gesamte Polynom angewendet.

Beispiel — $\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx$:

Glied	Potenzregel	Stammfunktionsglied
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$-1$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

Damit ist $F(x) = x^3 - x$.

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

Koeffizienten eingeben

Die Koeffizienten des Polynoms werden vom höchsten zum niedrigsten Grad kommagetrennt eingegeben.

Polynom	Eingabe
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$ (Konstante)	7

Die Anzahl der Werte bestimmt den Grad: vier Werte entsprechen einem Polynom dritten Grades.

Vorzeichenbehafteter Flächeninhalt und umgekehrte Grenzen

Das bestimmte Integral liefert einen vorzeichenbehafteten Flächeninhalt — mit zwei wichtigen Konsequenzen:

Kurve unterhalb der x-Achse: Beiträge sind negativ. Zum Beispiel ist $\int_0^1 (-x)\,dx = -\tfrac{1}{2}$, obwohl das geometrische Gebiet die Fläche $\tfrac{1}{2}$ hat.

Fall $a > b$: Das Integral ist das Negative des Integrals von $b$ nach $a$:

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

Dies ist kein Fehler, sondern eine fundamentale Eigenschaft des Integrals. Der Rechner behandelt diesen Fall korrekt; die Eingabe $a = 2,, b = 0$ liefert den negierten Wert gegenüber $a = 0,, b = 2$.

Integrationskonstante

Bei einem unbestimmten Integral schreibt man $F(x) + C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist. Beim bestimmten Integral fällt $C$ heraus:

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

Die Integrationskonstante hat auf das Ergebnis keinen Einfluss und wird daher in der angezeigten Stammfunktion weggelassen.

Grenzen der Potenzregel

Die Potenzregel gilt nur für Polynome ($x^n$ mit ganzzahligem $n \geq 0$). Für andere Funktionen sind andere Methoden erforderlich:

Funktionstyp	Verfahren
$\sin x$, $\cos x$, $e^x$	Bekannte Stammfunktionen (exakt)
Rationale, algebraische Funktionen	Partialbruchzerlegung, Substitution
Keine geschlossene Stammfunktion	Simpsonsche Regel, Gauß-Quadratur

Lässt sich der Integrand nicht als Polynom schreiben, ist dieser Rechner nicht das geeignete Werkzeug — es empfiehlt sich ein numerisches Integrationsverfahren oder ein Computer-Algebra-System.

Anwendungen in Wissenschaft und Technik

Bestimmte Integrale treten in zahlreichen Disziplinen auf:

• Physik: Weg aus der Geschwindigkeit ($\int v\,dt$), Arbeit einer Kraft ($\int F\,dx$).
• Wirtschaftswissenschaften: Konsumentenrente (Fläche zwischen Nachfragekurve und Preisniveau).
• Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable in $[a, b]$ liegt, berechnet sich als $\int_a^b f(x)\,dx$, wobei $f$ die Dichtefunktion ist.
• Geometrie: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven, Volumen von Rotationskörpern.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Kann ich mit diesem Rechner beliebige Funktionen integrieren?

Dieser Rechner ist auf Polynome beschränkt — Funktionen der Form P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Für diese lässt sich die Stammfunktion gliedweise über die Potenzregel exakt bestimmen. Für nicht-polynomiale Funktionen wie sin x, eˣ oder ln x sind numerische Verfahren erforderlich, etwa die Simpsonsche Regel oder die Gauß-Quadratur.

Was passiert, wenn die untere Grenze größer als die obere ist (a > b)?

Das Ergebnis ist dann das Negative des Integrals von b nach a. Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition: ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx. Der Rechner behandelt diesen Fall korrekt — er liefert den vorzeichenbehafteten Wert ohne weitere Einschränkung.

Was ist eine Stammfunktion und wozu braucht man sie?

Die Stammfunktion F(x) eines Polynoms P(x) ist eine Funktion, deren Ableitung gleich P(x) ist. Für ein einzelnes Monom aₙxⁿ liefert die Potenzregel aₙxⁿ⁺¹/(n+1). Für ein Polynom wird die Regel gliedweise angewendet. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt dann: ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a) — aus dem Flächenproblem wird eine einfache Einsetzen-und-Subtrahieren-Aufgabe.

Warum wird die Integrationskonstante nicht angezeigt?

Bei bestimmten Integralen hebt sich die Integrationskonstante C heraus: [F(x) + C] ausgewertet von a bis b ergibt (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Da C das Ergebnis nicht beeinflusst, wird sie weggelassen. Relevant ist C nur bei unbestimmten Integralen, wo die gesamte Schar der Stammfunktionen als F(x) + C angegeben wird.