Zuletzt aktualisiert: 2026-06-23

Was dieser Rechner leistet

Dieser Rechner führt einen Zwei-Stichproben-t-Test aus Kennzahlen durch. Aus dem Mittelwert, der Standardabweichung und dem Umfang zweier unabhängiger Gruppen berechnet er die t-Statistik, die Freiheitsgrade und einen zweiseitigen p-Wert — die üblichen Werkzeuge, um zu entscheiden, ob sich zwei Gruppenmittelwerte stärker unterscheiden, als das bloße Stichprobenrauschen erwarten ließe.

Welche Frage ein Zwei-Stichproben-t-Test beantwortet

Zwei Gruppen liefern unterschiedliche Durchschnitte — eine Behandlungs- und eine Kontrollgruppe, Variante A und Variante B, Stichproben aus zwei Werken. Die Durchschnitte fallen fast nie identisch aus, selbst wenn die zugrunde liegenden Prozesse gleich sind, allein weil jede Stichprobe zufällige Schwankungen trägt. Der Zwei-Stichproben-t-Test stellt eine präzise Frage: Wie überraschend wäre ein Unterschied dieser Größe, wenn die beiden Populationen tatsächlich gleiche Mittelwerte hätten? Die Antwort ist der p-Wert.

Die Welch-t-Formel

Dieser Rechner verwendet den Welch-t-Test, der nicht voraussetzt, dass die beiden Gruppen eine gemeinsame Varianz teilen. Die t-Statistik ist die Differenz der Mittelwerte geteilt durch den Standardfehler dieser Differenz:

Dabei sind $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ die Stichprobenmittelwerte, $s_1, s_2$ die Stichprobenstandardabweichungen und $n_1, n_2$ die Stichprobenumfänge. Der Nenner ist der Standardfehler — er wächst mit der Streuung der Gruppen und schrumpft mit größeren Stichproben, sodass derselbe Mittelwertunterschied mit mehr Daten überzeugender wird.

Warum Welch statt des gepoolten Tests (nach Student)

Der klassische t-Test nach Student fasst beide Standardabweichungen zu einer einzigen Varianzschätzung zusammen, was nur korrekt ist, wenn die beiden Populationen gleiche Varianz besitzen. Die Welch-Variante hält die beiden Varianzen getrennt, wie die obige Formel zeigt. Da gleiche Varianzen in realen Daten eher die Ausnahme als die Regel sind, gilt der Welch-Test als empfohlener Standard. Er verhält sich nahezu identisch zum gepoolten Test, wenn die Varianzen zufällig übereinstimmen, und bleibt genau, wenn sie es nicht tun — besonders dann, wenn sich die Gruppen zudem im Umfang unterscheiden.

Freiheitsgrade (Welch-Satterthwaite)

Da die Varianzen nicht gepoolt werden, besitzt die Referenzverteilung keine einfache ganzzahlige Zahl an Freiheitsgraden. Der Welch-Test nähert sie mit der Welch-Satterthwaite-Gleichung an:

Das Ergebnis ist im Allgemeinen keine ganze Zahl und liegt zwischen dem kleineren der Werte $n_1 - 1$ und $n_2 - 1$ und ihrer Summe. Weniger Freiheitsgrade verleihen der t-Verteilung schwerere Ränder, wodurch der Test bei kleinen oder ungleichen Stichproben angemessen vorsichtiger ausfällt.

Der p-Wert und seine Deutung

Sind $t$ und $df$ bekannt, lautet der zweiseitige p-Wert

wobei $F_t$ die Verteilungsfunktion der t-Verteilung ist. Der Faktor zwei und der Absolutbetrag zählen Abweichungen in beide Richtungen — einen größeren Mittelwert in Gruppe 1 ebenso wie in Gruppe 2.

Der p-Wert wird mit einem vor der Datenbetrachtung gewählten Signifikanzniveau $\alpha$ verglichen, üblicherweise 0,05:

• p < α — der Unterschied ist statistisch signifikant; die Daten sprechen gegen gleiche Mittelwerte.
• p ≥ α — die Daten liefern kein hinreichendes Indiz, um gleiche Mittelwerte zu verwerfen (was nicht dasselbe ist wie ein Beweis ihrer Gleichheit).

Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Mittelwerte gleich sind, und ein nicht signifikantes Ergebnis ist kein Beweis für „keinen Unterschied". Er misst allein, wie verträglich die Daten mit der Annahme gleicher Mittelwerte sind.

Rechenbeispiel

Gruppe 1 hat den Mittelwert 10, die Standardabweichung 2 und 30 Beobachtungen; Gruppe 2 hat den Mittelwert 12, die Standardabweichung 2,5 und 30 Beobachtungen.

Mit $p \approx 0.0012$, deutlich unter 0,05, ist der Unterschied zwischen den beiden Gruppenmittelwerten statistisch signifikant.

Ein signifikanter p-Wert zeigt, dass ein Unterschied nachweisbar ist, nicht aber, wie groß er ausfällt. Er sollte mit einem Effektstärkemaß wie Cohens d berechnen ergänzt werden, das den Abstand der Mittelwerte in Einheiten der Standardabweichung ausdrückt und nicht mit dem Stichprobenumfang anwächst.

Voraussetzungen

Der Zwei-Stichproben-t-Test beruht auf einigen Bedingungen:

• Unabhängigkeit — die beiden Gruppen sind unabhängig, und auch die Beobachtungen innerhalb jeder Gruppe sind unabhängig. Gepaarte oder wiederholte Messungen erfordern stattdessen einen gepaarten Test.
• Näherungsweise Normalverteilung — jede Gruppe ist annähernd normalverteilt, oder die Stichproben sind groß genug, dass der zentrale Grenzwertsatz die Stichprobenverteilung des Mittelwerts näherungsweise normal macht. Bei mittleren Umfängen ohne extreme Schiefe ist der Test recht robust.
• Ungleiche Varianzen zulässig — die Welch-Form behandelt unterschiedliche Gruppenvarianzen direkt, sodass weder ein Test auf noch eine Annahme gleicher Streuung nötig ist.

Der Welch-t-Test ist der übliche Standard für den Vergleich zweier Mittelwerte. Liegt bereits eine standardisierte z-Statistik statt Kennzahlen vor, wandelt das Werkzeug p-Wert aus z-Wert sie über die Normalverteilung in einen p-Wert um.