Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Die Gleichung eines Kreises

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte mit festem Abstand — dem Radius $r$ — von einem festen Punkt — dem Mittelpunkt $(h, k)$. Übersetzt man diese Definition in Koordinaten, erhält man die Normalform eines Kreises:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Multipliziert man die Quadrate aus und fasst die Terme zusammen, ergibt sich die allgemeine Form:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Beide Gleichungen beschreiben denselben Kreis. Die Normalform stellt Mittelpunkt und Radius zur Schau; die allgemeine Form verbirgt sie, ist aber die Gestalt, die natürlich auftritt, wenn eine Gleichung „roh“ gegeben ist. Dieser Rechner wandelt in beide Richtungen um.

Von der allgemeinen Form zu Mittelpunkt und Radius

Gegeben $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, sind Mittelpunkt und Radius:

$\text{Mittelpunkt} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

Die Mittelpunktskoordinaten ergeben sich direkt aus den Koeffizienten von $x$ und $y$. Für den Radius muss der Ausdruck unter der Wurzel — der Radikand $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$ — positiv sein, damit ein echter Kreis existiert.

Quadratische Ergänzung

Die Umwandlung ist einfach die quadratische Ergänzung, auf beide Variablen zugleich angewandt. Beginnen Sie mit der allgemeinen Form und gruppieren Sie:

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

Um jedes Quadrat zu vervollständigen, addieren Sie das Quadrat der Hälfte des linearen Koeffizienten auf beiden Seiten — $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$ für die $x$-Gruppe und $\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$ für die $y$-Gruppe:

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

Die linke Seite ist nun eine Summe zweier vollständiger Quadrate mit Mittelpunkt $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, und die rechte Seite ist $r^2$. Das ist genau die Normalform.

Beispielaufgabe

Aufgabe: Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius von $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Schritt 1 — Koeffizienten identifizieren: $D = -4$, $E = 6$, $F = 9$.

Schritt 2 — Mittelpunkt bestimmen:

$\text{Mittelpunkt} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

Schritt 3 — Radius bestimmen:

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

Der Kreis hat also Mittelpunkt $(2, -3)$ und Radius $2$, und seine Normalform lautet $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

Von Mittelpunkt und Radius zurück zur allgemeinen Form

In der Gegenrichtung multipliziert man die Quadrate der Normalform aus. Mit Mittelpunkt $(h, k)$ und Radius $r$:

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

Für das obige Beispiel liefern $h = 2$, $k = -3$, $r = 2$ die Werte $D = -4$, $E = 6$ und $F = 4 + 9 - 4 = 9$ und stellen so die ursprüngliche allgemeine Form $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$ wieder her.

Wenn es keinen reellen Kreis gibt

Der Radius ist nur reell, wenn der Radikand positiv ist:

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

Drei Fälle treten auf:

• Positiver Radikand — ein reeller Kreis mit $r = \sqrt{\text{Radikand}}$.
• Radikand null — die Gleichung schrumpft auf den einzelnen Punkt $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, einen entarteten „Punktkreis“ mit Radius $0$.
• Negativer Radikand — kein reeller Punkt erfüllt die Gleichung. Dies wird manchmal imaginärer Kreis genannt; geometrisch gibt es nichts zu zeichnen.

Zum Beispiel hat $x^2 + y^2 + 1 = 0$ die Werte $D = E = 0$ und $F = 1$, also ist der Radikand $-1$. Kein reelles $(x, y)$ kann eine Summe von Quadraten gleich $-1$ machen, also gibt es keinen Kreis.

Warum die allgemeine Form wichtig ist

Die allgemeine Form $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ist die Gleichung zweiten Grades, in der die Koeffizienten von $x^2$ und $y^2$ gleich sind und kein $xy$-Term auftritt — die algebraische Signatur eines Kreises unter den Kegelschnitten. Sie zu erkennen erlaubt es, auf einen Blick zu beurteilen, ob eine unübersichtliche Gleichung zweiten Grades ein Kreis ist (gleiche quadratische Koeffizienten, kein gemischter Term), bevor man rechnet; die quadratische Ergänzung legt dann Mittelpunkt und Radius offen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Worin unterscheiden sich Normalform und allgemeine Form eines Kreises?

Die Normalform (x − h)² + (y − k)² = r² zeigt Mittelpunkt (h, k) und Radius r direkt – man kann sie unmittelbar ablesen. Die allgemeine Form x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ist die ausmultiplizierte Fassung; sie verbirgt Mittelpunkt und Radius, eignet sich aber für algebraische Umformungen und den Vergleich mit anderen Kegelschnitten.

Beide beschreiben denselben Kreis, und man wandelt durch quadratische Ergänzung (allgemein → Normalform) oder Ausmultiplizieren der Quadrate (Normalform → allgemein) um.

Wie finde ich Mittelpunkt und Radius aus x² + y² + Dx + Ey + F = 0?

Ergänzen Sie für x und y getrennt quadratisch. Der Mittelpunkt ist (−D/2, −E/2) und der Radius r = √(D²/4 + E²/4 − F). Beispiel: x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 hat den Mittelpunkt (2, −3) und den Radius √(4 + 9 − 9) = √4 = 2.

Wie macht die quadratische Ergänzung aus der allgemeinen Form die Normalform?

Gruppieren Sie die x- und die y-Terme: (x² + Dx) + (y² + Ey) = −F. Addieren Sie (D/2)² und (E/2)² auf beiden Seiten, um jedes Quadrat zu vervollständigen: (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F. Die linke Seite besteht nun aus zwei vollständigen Quadraten mit Mittelpunkt (−D/2, −E/2), die rechte Seite ist r². Das ist die Normalform.

Wann stellt die Gleichung keinen reellen Kreis dar?

Das Radiusquadrat ist r² = D²/4 + E²/4 − F. Ist dieser Wert negativ, erfüllt kein reelles (x, y) die Gleichung, also gibt es keinen Kreis (manchmal imaginärer Kreis genannt). Ist er genau null, schrumpft die Gleichung auf den einzelnen Punkt im Mittelpunkt zusammen – einen entarteten „Punktkreis“ mit Radius 0. Ein echter Kreis erfordert D²/4 + E²/4 − F > 0.