Zuletzt aktualisiert: 2026-06-10

Definition

Ein Würfel ist ein geometrischer Körper mit sechs kongruenten quadratischen Seitenflächen, zwölf gleich langen Kanten und acht Ecken — ein Spezialfall des Quaders mit l = b = h = s. Aus einer einzigen Kantenlänge s lassen sich alle anderen Eigenschaften eindeutig bestimmen: Volumen, Oberfläche, Flächendiagonale, Raumdiagonale und Gesamtkantenlänge.

Die Formeln

Für einen Würfel mit Kantenlänge s:

Größe	Formel	Bedeutung
Volumen	V = s³	Eingeschlossener Rauminhalt
Oberfläche	A = 6s²	Gesamtfläche aller sechs Seiten
Flächendiagonale	$d_f = s\sqrt{2}$	Diagonale einer quadratischen Seitenfläche
Raumdiagonale	$d_s = s\sqrt{3}$	Verbindung gegenüberliegender Ecken durch das Innere
Gesamtkantenlänge	L = 12s	Summe aller 12 Kanten

Oberfläche: 6s²

Ein Würfel hat 6 gleiche quadratische Seitenflächen, jede mit der Fläche s². Die Gesamtoberfläche beträgt 6 × s². Für s = 10 cm: A = 6 × 100 = 600 cm².

Herleitung der Flächendiagonale

Jede Seitenfläche ist ein Quadrat mit der Kantenlänge s. Die Diagonale eines Quadrats ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

$d_f = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$

Für s = 10 cm: $d_f = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ cm.

Herleitung der Raumdiagonale

Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Würfels und verläuft durch das Innere. Angewendet wird der dreidimensionale Satz des Pythagoras: Zuerst die Flächendiagonale d_f bestimmen, dann mit der Kantenlänge s als Höhe die Raumdiagonale berechnen:

$d_s = \sqrt{d_f^2 + s^2} = \sqrt{2s^2 + s^2} = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

Für s = 10 cm: $d_s = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm. Die Raumdiagonale ist stets länger als die Flächendiagonale ($\sqrt{3} > \sqrt{2}$).

Zusammenhang mit dem Quader

Ein Würfel ist ein Quader mit l = b = h = s. Setzt man dies in die Quaderformeln ein, erhält man:

• V = l·b·h → s·s·s = s³
• A = 2(lb + lh + bh) → 2(s² + s² + s²) = 6s²
• Raumdiagonale = $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \to \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

Skalierungsverhalten

Da das Volumen mit s³ wächst, hat eine geringe Vergrößerung der Kantenlänge eine große Wirkung:

Faktor Kante	Faktor Volumen	Faktor Oberfläche
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Ein Karton mit 20 cm Kantenlänge fasst 8-mal so viel wie einer mit 10 cm — obwohl er nur doppelt so breit erscheint.

Rechenbeispiele

Beispiel 1 — Spielwürfel

Ein Standardspielwürfel hat s ≈ 1,6 cm (= 0,016 m).

Volumen: V = 0,016³ ≈ 0,0000041 m³ ≈ 4,1 cm³ Oberfläche: A = 6 × 0,016² = 0,001536 m² ≈ 15,36 cm² Raumdiagonale: $d_s = 0{,}016 \times \sqrt{3} \approx 0{,}0277$ m ≈ 2,77 cm

Beispiel 2 — Versandkarton

Ein würfelförmiger Karton mit s = 30 cm:

Volumen: V = 30³ = 27.000 cm³ = 27 Liter Oberfläche: A = 6 × 900 = 5.400 cm² = 0,54 m² Pappe Gesamtkantenlänge: L = 12 × 30 = 360 cm = 3,60 m Klebeband

Beispiel 3 — Kantenlänge aus dem Volumen bestimmen

Bekannt ist das Volumen V = 8 m³. Gesucht ist die Kantenlänge:

s = ∛V = ∛8 = 2 m

Bei V = 0,001 m³ (= 1 Liter): s = ∛0,001 = 0,1 m = 10 cm.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Würfels?

Die Raumdiagonale eines Würfels mit Kantenlänge s beträgt d = s√3. Sie verläuft von einer Ecke durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Ecke. Für s = 10 cm gilt: d = 10√3 ≈ 17,32 cm.

Was ist der Unterschied zwischen Flächen- und Raumdiagonale?

Die Flächendiagonale liegt auf einer quadratischen Seitenfläche und hat die Länge s√2. Die Raumdiagonale durchquert das Innere des Würfels von einer Ecke zur gegenüberliegenden und hat die Länge s√3. Bei s = 10 cm: Flächendiagonale ≈ 14,14 cm, Raumdiagonale ≈ 17,32 cm.

Wie berechnet man die Kantenlänge aus dem Volumen eines Würfels?

Aus V = s³ folgt s = ∛V. Bei V = 1.000 cm³ ergibt sich s = ∛1000 = 10 cm. Bei V = 1 m³ gilt s = 1 m.

Warum ist die Oberfläche eines Würfels 6s²?

Ein Würfel hat 6 gleiche quadratische Seitenflächen, jede mit der Fläche s². Die Gesamtoberfläche beträgt daher 6 × s². Für s = 5 cm gilt: A = 6 × 25 = 150 cm².