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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Torus-Volumenrechner

Eingaben

Großradius6
Kleinradius3

Visualisierung

Torus-DiagrammEin Torus (Donut-Form) mit Großradius R vom Mittelpunkt O zum Rohrmittelpunkt und Kleinradius r des Rohrquerschnitts.ORr

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/torus-volume

Mathematik

Torus-Volumenrechner

Volumen und Oberfläche eines Torus (Donut-Form) aus Großradius R und Kleinradius r — abgeleitet aus dem Satz von Pappus.

Eingaben

Torus-DiagrammEin Torus (Donut-Form) mit Großradius R vom Mittelpunkt O zum Rohrmittelpunkt und Kleinradius r des Rohrquerschnitts.ORr

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\begin{aligned} V &= 2\pi^2 R r^2 \\ &= 2\pi^2 (6)(3)^2 \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} A &= 4\pi^2 R r \\ &= 4\pi^2 (6)(3) \\ &= ? \end{aligned}

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Definition

Ein Torus entsteht, wenn man einen Kreis um eine äußere Achse in seiner Ebene dreht. Das Ergebnis ist die bekannte Donutform — in der Technik begegnet sie uns als O-Ring, Fahrradschlauch, Schwimmring und in vielen Dichtungen. Zwei Radien beschreiben ihn vollständig: der Großradius R (Abstand vom Mittelpunkt des Torus zum Mittelpunkt des Rohres) und der Kleinradius r (Radius des Rohres selbst).

Formeln

Beide Formeln folgen direkt aus dem Satz von Pappus: Das Volumen (bzw. die Oberfläche) eines Rotationskörpers entspricht dem Produkt aus Querschnittsfläche (bzw. -umfang) und der Weglänge des Schwerpunkts.

Volumen — Kreisquerschnitt πr2\pi r^2 dreht sich um den Weg 2πR2\pi R:

V=2π2Rr2V = 2\pi^2 R r^2

Oberfläche — Kreisumfang 2πr2\pi r dreht sich um den Weg 2πR2\pi R:

A=4π2RrA = 4\pi^2 R r

Rechenbeispiel

Aufgabe: Ein Gummi-O-Ring hat einen Großradius von 20 mm und einen Kleinradius von 3 mm. Gesucht sind Volumen und Oberfläche.

R = 0,020 m, r = 0,003 m:

V=2π2×0,020×0,0032≈3,55 cm3V = 2\pi^2 \times 0{,}020 \times 0{,}003^2 \approx 3{,}55 \text{ cm}^3

A=4π2×0,020×0,003≈23,69 cm2A = 4\pi^2 \times 0{,}020 \times 0{,}003 \approx 23{,}69 \text{ cm}^2

Für einen Fahrrad-Schlauch (R ≈ 30 cm, r ≈ 2 cm) ergibt sich V≈2π2×0,30×0,022≈2,37 LV \approx 2\pi^2 \times 0{,}30 \times 0{,}02^2 \approx 2{,}37 \text{ L}.

Arten von Tori

BedingungTypBeschreibung
R > rRingtorusLoch im Zentrum — klassische Donutform
R = rHorntorusInnenloch schrumpft auf einen Punkt
R < rSpindeltorusOberfläche selbstüberschneidend, physisch nicht realisierbar

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für das Volumen eines Torus?

Das Volumen eines Torus berechnet sich mit V = 2π²Rr², wobei R der Großradius (Abstand von der Mittelachse des Torus zum Mittelpunkt des Rohres) und r der Kleinradius (Radius des Rohres selbst) ist.

Ein Torus mit R = 10 cm und r = 3 cm hat zum Beispiel V = 2 × π² × 0,10 × 0,03² ≈ 1 777 cm³. Die Formel folgt aus dem Satz von Pappus: Das Volumen ist gleich der Querschnittsfläche (πr²) multipliziert mit dem Weg, den der Schwerpunkt zurücklegt (2πR).

Was ist der Unterschied zwischen Groß- und Kleinradius eines Torus?

Der Großradius R wird von der Mittelachse des Torus bis zum Mittelpunkt des Rohres gemessen – er bestimmt, wie weit der Ring ist. Der Kleinradius r ist der Radius des Rohres selbst – er bestimmt, wie dick der Ring ist. Beim Ringtorus (dem häufigsten Typ) muss R größer als r sein. Wenn R = r ist, verschwindet das innere Loch und es entsteht ein Horntorus; wenn R < r ist, schneidet sich die Oberfläche selbst und es entsteht ein Spindeltorus.

Was ist ein Ringtorus?

Ein Ringtorus ist die bekannte Donut-Form mit R > r, bei der der Torus ein Loch durch seine Mitte hat. Er ist der häufigste Typ in Mathematik und Technik (O-Ringe, Rettungsringe, Schläuche).

Wenn R = r ist, schrumpft das innere Loch auf einen Punkt und es entsteht ein Horntorus. Wenn R < r ist, schneidet sich die Oberfläche in der Mitte und es entsteht ein Spindeltorus. Dieser Rechner berechnet Volumen und Oberfläche korrekt für alle drei Typen, obwohl nur Ringtori ohne Selbstüberschneidung physisch realisierbar sind.

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